 | a[n]は正の有理数であるのは容易に分かります。
b[n], c[n]は自然数である数列として、a[n] = b[n]/c[n]とおきます。
a[n+1] = (1/2){a[n]+1/(25a[n])}
⇒ b[n+1]/c[n+1] = (1/2){b[n]/c[n]+c[n]/(25b[n])}
⇒ 2b[n+1]/c[n+1] = {25(b[n]^2)+(c[n]^2)}/(25b[n]c[n])
よって、
2b[n+1] = 25(b[n]^2)+(c[n]^2)・・・・・(1)
c[n+1] = 25b[n]c[n]・・・・・(2)
であれば十分です。
(1)+(2/5)(2)を計算すると、
2b[n+1]+(2/5)c[n+1] = 25(b[n]^2)+10b[n]c[n]+(c[n]^2)
⇒ (2/5)(5b[n+1]+c[n+1]) = (5b[n]+c[n])^2
⇒ 5b[n+1]+c[n+1] = (5/2){(5b[n]+c[n])^2}・・・・・(3)
(1)-(2/5)(2)を計算すると、
2b[n+1]-(2/5)c[n+1] = 25(b[n]^2)-10b[n]c[n]+(c[n]^2)
⇒ (2/5)(5b[n+1]-c[n+1]) = (5b[n]-c[n])^2
⇒ 5b[n+1]-c[n+1] = (5/2){(5b[n]-c[n])^2}・・・・・(4)
(3)より、n-1が自然数ならば、
5b[n]+c[n] = (5/2){(5b[n-1]+c[n-1])^2}
n-2が自然数ならば、
5b[n]+c[n] = (5/2){((5/2){(5b[n-2]+c[n-2])^2})^2}
= {(5/2)^(1+2)}{(5b[n-2]+c[n-2])^4}
n-3が自然数ならば、
5b[n]+c[n] = {(5/2)^(1+2)}{((5/2){(5b[n-3]+c[n-3])^2})^4}
= {(5/2)^(1+2+4)}{(5b[n-3]+c[n-3])^8}
よって、
5b[n]+c[n] = {(5/2)^((2^(n-1))-1)}{(5b[1]+c[1])^(2^(n-1))}
= (2/5){((5/2)(5*1+1))^(2^(n-1))}
= (2/5){15^(2^(n-1))}・・・・・(5)
(4)から同様に
5b[n]-c[n] = (2/5){((5/2)(5*1-1))^(2^(n-1))} = (2/5){10^(2^(n-1))}・・・・・(6)
となります。
(5)+(6)から、
10b[n] = (2/5){15^(2^(n-1))}+(2/5){10^(2^(n-1))}
⇒ b[n] = (1/25)({15^(2^(n-1))}+{10^(2^(n-1))})・・・・・(7)
(5)-(6)から、
2c[n] = (2/5){15^(2^(n-1))}-(2/5){10^(2^(n-1))}
⇒ c[n] = (1/5)({15^(2^(n-1))}-{10^(2^(n-1))})・・・・・(8)
(7)(8)から、
a[n] = b[n]/c[n] = (1/5)({15^(2^(n-1))}+{10^(2^(n-1))})/({15^(2^(n-1))}-{10^(2^(n-1))})
となります。
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