数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 素数の逆数和 / Page: 0]

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■46968 / inTopicNo.1)

　素数の逆数和

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□投稿者/ 英語も教えてほしい人一般人(1回)-(2015/03/16(Mon) 09:20:45)

数列{a[n]}(n=1,2,3,...)を
a[1]=2
a[n]=a[n-1]より大きい素数で、nで割って1余る素数のうち最も小さいもの (n≧2)
で定めます。
このときΣ[1,∞]1/a[n]は収束しますか？

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■46969 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 素数の逆数和

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□投稿者/ らすかる大御所(284回)-(2015/03/16(Mon) 22:01:26)

2015/03/16(Mon) 22:03:26 編集(投稿者)

おそらく収束すると思います。
以下、大雑把な概算であって証明にはなりませんが、
収束するという予想の根拠です。

nが素数のとき、
素数全体に対してnで割って1余る素数の割合は約1/(n-1)になると思います。
するとpを素数として
a[p]とa[p-1]の間の素数は平均p-2個ですから
a[n]までで飛ばされた素数の個数は
少なくとも「n以下の素数の和」個あります。
※p-2の-2は無視しました。また、合成数でも飛ばされる素数が
　多くありますので、その分が「少なくとも」です。
n以下の素数の和はn^3/(3logn)-n^2/3で近似されるそうですから、
a[n]はn^3/(3logn)-n^2/3番目より後の素数です。
nが大きい時-n^2/3は無視できますので無視します。
n番目の素数は大雑把にnlognで近似されますので、
このnにn^3/(3logn)を代入すると
n^3/(3logn)・{3logn-log(3logn)}
=n^3-n^3log(3logn)/(3logn)
nが大きければ第2項は無視できますのでまた無視すると
a[n]＞n^3
つまりa[n]はnの3乗(以上)のオーダーになりますので、
収束することになると思います。

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■46970 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 素数の逆数和

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□投稿者/ 英語も教えてほしい人一般人(2回)-(2015/03/16(Mon) 22:09:55)

ありがとうございます。

質問してもいいでしょうか？(変なこと聞いているかもしれません)
> n以下の素数の和はn^3/(3logn)-n^2/3で近似されるそうですから、
これがいまいちピンときません…。
n以下の自然数の和はn(n+1)/2ですよね？
n以下の素数の和の方が大きくなりませんか？

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■46971 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 素数の逆数和

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□投稿者/ らすかる大御所(285回)-(2015/03/16(Mon) 22:13:56)

あれ？確かにおかしいですね。
「素数の和の近似式」で出てきた
↓このページの式を鵜呑みにしてしまいました。
http://members.just-size.net/prime/

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■46972 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 素数の逆数和

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□投稿者/ らすかる大御所(286回)-(2015/03/16(Mon) 22:32:40)

検索しても式が見つからないので
自分で大雑把な式を出しました。

nから2nまでの素数の個数は約n/logn個
n+1から2nまでの和はn(3n+1)/2なので
nから2nまでの素数の和は約3n^2/(2logn)
よって2n以下の素数の和は
3n^2/(2logn)+(1/4)3n^2/(2log(n/2))+(1/16)3n^2/(2log(n/4))+…
＞3n^2(1+1/4+1/16+…)/(2logn)
=4n^2/(2logn)
なのでn以下の素数の和は
n^2/(2logn)以上　（※log(n/2)の/2は無視）

n^2/(2logn)として上の後半を修正すると

a[n]はn^2/(2logn)番目より後の素数です。
n番目の素数は大雑把にnlognで近似されますので、
このnにn^2/(2logn)を代入すると
n^2/(2logn)・{2logn-log(2logn)}
=n^2-n^2log(2logn)/(2logn)
nが大きければ第2項は無視できますのでまた無視すると
a[n]＞n^2
つまりa[n]はnの2乗(以上)のオーダーになりますので、
結局収束することになりそうですね。

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■46973 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 素数の逆数和

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□投稿者/ 英語も教えてほしい人一般人(3回)-(2015/03/17(Tue) 05:33:58)

自分でも計算してみたのですが
Σ[p≦x]p～x^2/log(x^2)
となるのですね。

推論もとてもわかりやすく納得できました。
ありがとうございました。

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