 | 一つ目の解答です。
各面の頂点の自然数の和の合計は(1+2+3+…+8)×3=108と
なりますので、各面の頂点の自然数の和は108÷6=18です。
1〜8を3で割った余りで分類すると0が2個、1と2が3個ずつです。
以下3で割った余りで考えます。
2つの0が立方体の対角にある場合、全ての面で0は1個で、
残りの3頂点の組合せは(1,1,1)か(2,2,2)しかあり得ません。
そうすると、どれか一つに1を割り当てると残り全部1、また
2を割り当てると残り全部2となってしまい不適です。よって
「2つの0が対角にある」解は存在しません。
2つの0が1つの面の対角にある場合も同様に、2つの0がある面を
上面とした場合に側面は全て(1,1,1)か(2,2,2)ですから、
残りの頂点が全部1または全部2となってしまい不適です。
従って、2つの0は隣接頂点になければなりません。
そこで立方体ABCD-EFGHにおいてA=3,B=6とします。
面BFGCと面ADHEには3の倍数がそれぞれ1個ですから、
残りの3頂点は「全部3で割った余りが1」または「全部3で割った余りが2」
でなければなりません。3で割った余りが1である1,4,7の合計は12、
3で割った余りが2である2,5,8の合計は15ですから、
自動的にF,G,Cが1,4,7の入れ替え、D,H,Eが2,5,8の入れ替えと決まります。
そしてC+D=E+F=9であることから、(C,D,E,F)の候補は
(1,8,2,7)(1,8,5,4)(4,5,2,7)(4,5,8,1)(7,2,5,4)(7,2,8,1)
の6組に限定され、いずれもG+H=9で全ての面が18になりますので
解は6組とわかります。
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