 | 考え方によっては正しいとも言えますし、正しくないとも言えます。
矛盾している結論ですから難しいです。
一般的には
「pはどのp[i]でも割り切れないので、p[n]より大きい素数または
p[1]〜p[n]以外の素数を素因数に持つ合成数となる。」
が正しいことになっていると思いますが、これですら
見方によっては正しくありません。
元々素数全体をp[1]〜p[n]と仮定しいてるのですから、
それ以外の数は素数ではありません。
従って「p[n]より大きい素数」の部分は正しくありません。
また、素数全体がp[1]〜p[n]であるという仮定のもとでは、
p[n]より大きい全ての数はp[1]〜p[n]の積で構成される
合成数のはずですから、
「p[1]〜p[n]以外の素数を素因数に持つ合成数となる。」
も正しくありません。
「矛盾」という結論ですから正しくないことが書いてあるのは
仕方ないですが、例えば
素数全体をp[1],p[2],…,p[n]とおく。
するとp[n]より大きい合成数は必ずp[1]〜p[n]のいずれかで割り切れる。
しかしpはp[n]より大きいがp[1]〜p[n]のどれでも割り切れないので、
合成数ではない。従って素数となる。
（しかしpは素数の集合に入っていないので矛盾）
という考え方では元の証明も「正しい」ことになります。
より問題がないように書くとしたら、
素数がp[1]〜p[n]の有限個であると仮定する。
するとp[n]より大きい数はp[1]〜p[n]の積で構成される合成数なので、
p[1]〜p[n]のいずれかで割り切れる。
しかしp=p[1]p[2]…p[n]+1はp[n]より大きいのにp[1]〜p[n]の
どれでも割り切れないので矛盾。
従って素数が有限個であるという仮定が誤り。
とすればよいと思います。
|