 | 2015/03/08(Sun) 00:10:28 編集(投稿者)
>> らすかるさん
実数xの真値はx = 0と目視で求まります。
なので、実質この問題はx = 0以外に解が無いということの証明だと思います。
f[n](x) = e^x-{1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+…+x^n/n!}
とおけば、n ≧ 1のとき
f'[n](x) = e^x-{1/1!+2x/2!+3(x^2)/3!+…+n(x^(n-1))/n!} = f[n-1](x)
です。
# f[0](x) = e^x-{1}とします。
よって、f[n](x)のn階導関数はf[0](x)であり、
x < 0でf[0](x) < 0なのでf[1](x)は減少
x = 0でf[0](x) = 0なのでf[1](x)は極小, f[1](0) = 0
x > 0でf[0](x) > 0なのでf[1](x)は増加
f[1](x)とf[2](x)は
x < 0でf[1](x) > 0なのでf[2](x)は増加
x = 0でf[1](x) = 0, f[0](x) = 0なのでf[2](x)は変曲点, f[2](0) = 0
x > 0でf[1](x) > 0なのでf[2](x)は増加
となります。
つまり説明が雑ですが、y = f[n](x)のグラフは、
非負整数nが偶数ならば下に凸でx = 0でのみx軸に接し、
nが奇数ならば単調増加でx = 0でx軸と交差するということですね。
以上から任意の非負整数nでf[n](x) = 0となるのはx = 0のみです。
|