 | 2005/10/17(Mon) 14:12:07 編集(投稿者)
>>原点O,C:y-√x(x≧0),C上の点の列P1,P2,P3,…,Pn,…がこの順に、
>>x軸上の点の列O,Q1,Q2,Q3,…,Qn,…がこの順に並んでいる。
>>⊿OP1Q1と⊿QnP(n+1)Q(n+1)(n=1,2,3,…)は正三角形,Pnのx座標をxn(n=1,2,3,>>…）とする。
>>(1)x1を求めよ。
>>(2)xnを求めよ。
>>(3)lim[n→∞]1/n^3((OP1)^2+(P1P2)^2+(P2P3)^2+…+(P(n-1)Pn)^2)を求めよ。
C:y-√x
を
C:y=√x
のタイプミスとみて解きます。
(1)
条件から
P[1](x[1],√x[1])
一方
OP1の傾きはtan(π/3)=√3
よって
√x[1]=x[1]√3
であるからx1=1/3
(2)
Q[n](q[n],0)と置くと、直線P[n+1]Q[n]の方程式は
y=(x-q[n])√3
この上に点P[n+1]があるから
√x[n+1]=(x[n+1]-q[n])√3 (A)
一方、線分P[n+1]Q[n]の長さについて
q[n+1]-q[n]=√{(x[n+1]-q[n])^2+(√x[n+1])^2} (B)
(A)より
x[n+1]=3(x[n+1]-q[n])^2
3(q[n])^2-6x[n+1]q[n]+3(x[n+1])^2-x[n+1]=0 (C)
ここで図を描くと
q[n]<x[n+1]
となる事が分かりますので(C)をq[n]の二次方程式と見て解くと
q[n]=x[n+1]-√(x[n+1]/3) (D)
又(A)(B)より
q[n+1]-q[n]=2√(x[n+1]/3) (E)
(C)(D)より
{x[n+2]-√(x[n+2]/3)}-{x[n+1]-√(x[n+1]/3)}=2√(x[n+1]/3)
∴{x[n+2]-√(x[n+2]/3)}-{x[n+1]+√(x[n+1]/3)}=0
∴{x[n+1]-√(x[n+1]/3)}-{x[n]+√(x[n]/3)}=0
（n+1の代わりにnを代入した。）
∴{√x[n+1]+√x[n]}{√x[n+1]-√x[n]-1/√3}=0
（√x[n+1]の二次方程式と見た）
ここで√x[n+1]+√x[n]≠0ゆえ
√x[n+1]=√x[n]+1/√3
これは{√x[n]}が交差1/√3の等差数列であることを示すので
√x[n]=√x[1]+(n-1)/√3
=n/√3 (∵)(1)の結果より
∴x[n]=(1/3)n^2
(3)
(2)の結果を用いるとn≧2のとき
(P[n-1]P[n])^2=(x[n]-x[n-1])^2+(√x[n]-√x[n-1])^2
=(1/9){n^2-(n-1)^2}^2+(1/3){n-(n-1)}^2
=(1/9)(2n-1)^2+1/3
=(4/9)(n^2-n+1)
又(1)の結果より
OP[1]^2=(1/3)^2+(1/√3)^2=4/9
よって
(与式)=lim[n→∞](1/n^3)∑[k=1～n](4/9)(k^2-k+1)
=…
=4/27
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