 | 間違いがありましたので訂正します。
> よって、3個の平方数を必要とするのはu, vを非負整数として(2^u)(4v+3)と表される自然数であり、
> n以下に漸近的には(1/4)Σ[k=0,∞]{1/(2^k)} = (1/4)(1/(1-1/2)) = 1/2の割合で存在します。
(2^u)(4v+3)型の自然数には(4^u)(8v+7)型の自然数も含まれますので、この分を差し引く必要がありました。
3個の平方数を必要とし、4個の平方数は必要としない自然数は、
u, vを非負整数として(2^u)(4v+3)と表される自然数の内、
s, tを非負整数として(4^s)(8t+7)と表される自然数を除いたものとなりますので、
n以下に漸近的には
(1/4)Σ[k=0,∞]{1/(2^k)}-1/6 = (1/4)(1/(1-1/2)-1/6 = 1/2-1/6 = 1/3
の割合で存在します。
> よって、2個の平方数の和で表せる自然数はn以下に漸近的には1-1/6-1/2-1/√n = 1/3-1/√nの割合で存在します。
3個以上4個未満の平方数の和となる自然数の割合が1/3と訂正されましたので、
2個以上3個未満の平方数の和となる自然数の割合も以下の様に訂正されます。
漸近的に1-1/6-1/3-1/√n = 1/2-1/√nです。
> 以上から、期待値は
> h(n) = 4*(1/6)+3*(1/2)+1*(1/√n)+2*(1/3-1/√n) = 4/6+9/6+(1/√n)+4/6-(2/√n) = 17/6-(1/√n)
> 平均値は
> lim[x→∞](1/x)Σ[n≦x]h(n) = 17/6
期待値は
h(n) = 4*(1/6)+3*(1/3)+1*(1/√n)+2*(1/2-1/√n) = 2/3+1+(1/√n)+1-(2/√n) = 8/3-(1/√n)
平均値は
lim[x→∞](1/x)Σ[n≦x]h(n) = 8/3
となると思います。
申し訳ありませんでした。
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