| 返信遅くなりました。みずきさん、回答ありがとうございます。
みずきさんの回答で
→{3^(2n-1)・(4k-3)-1}/2 [これは奇数]...[A1] ...と →{3^(2n)・(4k-3)-1}/2 [これは偶数].....[B1]
の箇所がすぐにわからなかったので自分で補題を考えてみました。
あ) {3^(2n-1)・(4k-3)-1}/2 ={3^(2n-1)・(4k)-3^(2n-1)・3^1-1}/2 ={3^(2n-1)・(4k)-3^(2n)-1}/2
3^(2n)+1≡2(mod.4)を数学的帰納法で示します。
n=1の時3^(2・1)+1=10≡2(mod.4)で明らか
次に n=kの時3^(2k)+1≡2(mod.4)が成立していたとすると
3^(2(k+1))+1=9{3^(2k)}+1=9{3^(2k)+1}-8≡9*2-8≡2(mod.4) よって成り立つ。
い) {3^(2n)・(4k-3)-1}/2 ={3^(2n)・(4k)-3^(2n)・3^1-1}/2 ={3^(2n)・(4k)-3^(2n+1)-1}/2
3^(2n+1)+1≡0(mod.4)を数学的帰納法で示します。
n=1の時3^(2・1+1)+1=28≡0(mod.4)で明らか
次に n=kの時3^(2k+1)+1≡0(mod.4)が成立していたとすると
3^(2(k+1)+1)+1=9{3^(2k+1)}+1=9{3^(2k+1)+1}-8=9*0-8≡0(mod.4) よって成り立つ。
従って、[A1]、[B1]の表現(奇数、偶数)が共に成り立つことがわかりました。
(もっと簡単に示す方法もありますか?何か定理があるとか?)
↓↓↓以下、みずきさんの回答をそのまま真似て証明を補足します(手抜きですみません) # f((4k-1)・2^(2n)-1)=f((4k-1)・2^(2n+1)-1) # が成り立つことも同様に示せると思います。...の補足証明
kを正の整数とするとき f((4k-1)・2^(2n)-1)=f((4k-1)・2^(2n+1)-1) が成り立つことを示します。
(4k-1)・2^(2n)-1 ⇒3(4k-1)・2^(2n)-2 →3(4k-1)・2^(2n-1)-1 ⇒3^2・(4k-1)・2^(2n-1)-2 →3^2・(4k-1)・2^(2n-2)-1 ⇒3^3・(4k-1)・2^(2n-2)-2 →3^3・(4k-1)・2^(2n-3)-1 ・・・ →3^(2n)・(4k-1)・2^0-1 [これは偶数でここまでに⇒は2n個] →{3^(2n)・(4k-1)-1}/2 [これは奇数] ⇒{3^(2n+1)・(4k-1)-1}/2[これは偶数でここまでに⇒は2n+1個] ...[C1]
一方、 (4k-1)・2^(2n+1)-1 ⇒3(4k-1)・2^(2n+1)-2 →3(4k-1)・2^(2n)-1 ⇒3^2・(4k-1)・2^(2n)-2 →3^2・(4k-1)・2^(2n-1)-1 ⇒3^3・(4k-1)・2^(2n-1)-2 →3^3・(4k-1)・2^(2n-2)-1 ・・・ →3^(2n+1)・(4k-1)・2^0-1 [これは偶数でここまでに⇒は2n+1個] →{3^(2n+1)・(4k-1)-1}/2 [これは偶数]...[D1]
[C1]と[D1]の式が同型でそこに至るまでに現れる⇒の数も同じ
ということでよいでしょうか?読みにくくてすみません。
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