数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 素数と多項式 / Page: 0]

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■46852 / inTopicNo.1)

　素数と多項式

□投稿者/ まぐろ一般人(1回)-(2015/02/17(Tue) 21:09:14)

p を与えられた奇素数としたとき, 以下の条件をみたす自然数 n をすべて教えていただけないでしょうか ?
+条件+
f(x) : = (x+1)^n - x^n
{f(0), f(1), f(2), …, f(p-1)} ≡ {0, 1, 2, …, p-1} (mod p)

よろしくお願いします。

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■46854 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 素数と多項式

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□投稿者/ WIZ 一般人(29回)-(2015/02/18(Wed) 15:35:26)

Σ[k=0,p-1]{k} = p(p-1)/2です。
ここで、pは奇素数ですから、(p-1)/2はpより小さい自然数ですので、
p(p-1)/2はpの倍数である自然数となります。

また、Σ[k=0,p-1]{f(k)} = (p^n)-1です。
(p^n)-1はpの倍数でない自然数です。

Σ[k=0,p-1]{k} ≡ Σ[k=0,p-1]{f(k)} (mod p)でなければなりませんが、
pの倍数である自然数とpの倍数でない自然数が法pで合同になることは不可能です。

よって、題意を満たす自然数nは存在しません。

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■46856 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 素数と多項式

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□投稿者/ まぐろ一般人(2回)-(2015/02/18(Wed) 18:21:14)

> Σ[k=0,p-1]{f(k)} = (p^n)-1

これって p^n になりませんか？

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■46857 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 素数と多項式

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□投稿者/ らすかる大御所(256回)-(2015/02/18(Wed) 18:35:54)

具体値で計算してみただけですが、
答えは n=(p-1)m+2（mは非負整数）になりそうですね。