 | 「命題：
kを自然数とする。
6k-1,6k+1,
6(k+1)-1,6(k+1)+1,
6(k+2)-1,6(k+2)+1
の全てが素数になるのは
k=1の時に限る。
これを証明せよ。」
という問題です。
（自作）
（自己解凍もとい自己解答）
k=1の時は
6k-1=5,6k+1=7,
6(k+1)-1=11,6(k+1)+1=13,
6(k+2)-1=17,6(k+2)+1=19
で明らかに全て素数
次に、
mを自然数とし、
(1)k=5m-3とおくとk≧2で
6k-1=30m-19,6k+1=30m-17,
6(k+1)-1=30m-13,6(k+1)+1=30m-11,
6(k+2)-1=30m-7,6(k+2)+1=30m-5
で6(k+2)+1=30m-5=5(6m-1)
mは自然数だから、6m-1≧5
より6(k+2)+1が合成数
(2)k=5m-2とおくとk≧2で
6k-1=30m-13,6k+1=30m-11,
6(k+1)-1=30m-7,6(k+1)+1=30m-5,
6(k+2)-1=30m-1,6(k+2)+1=30m+1
で
6(k+1)+1=30m-5=5(6m-1)が合成数
(3)k=5m-1とおくとk≧2で
6k-1=30m-7,6k+1=30m-5,
6(k+1)-1=30m-1,6(k+1)+1=30m+1,
6(k+2)-1=30m+5,6(k+2)+1=30m+7
で
6k+1=30m-5=5(6m-1)
と
6(k+2)-1=30m+5=5(6m+1)
が合成数(∵6m-1≧5,6m+1≧7)
(4)k=5mとおくとk≧2で
6k-1=30m-1,6k+1=30m+1,
6(k+1)-1=30m+5,6(k+1)+1=30m+7,
6(k+2)-1=30m+11,6(k+2)+1=30m+13
で
6(k+1)-1=30m+5=5(6m+1)が合成数
(5)k=5m+1とおくとk≧2で
6k-1=30m+5,6k+1=30m+7,
6(k+1)-1=30m+11,6(k+1)+1=30m+13,
6(k+2)-1=30m+17,6(k+2)+1=30m+19
で
6k-1=30m+5=5(6m+1)が合成数
すなわち、(1）〜(5)の全てのパターンで
5以外の5の倍数(合成数)が現れるから
命題は真である。 Q.E.D.
であってるでしょうか？
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