数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: メビウス関数 / Page: 0]

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■46834 / inTopicNo.1)

　メビウス関数

□投稿者/ 中瀬一般人(5回)-(2015/02/15(Sun) 19:57:57)

もう一つ分からない問題があるので、教えてください。

μ(n):N→{1,0,-1}を次で定めます。
μ(1)=1
nが素数の平方で割りきれるならμ(n)=0
nがk個の異なる素数の積のときμ(n)=(-1)^k
このとき、与えられた自然数nに対して
Σ[a,b∈N,lcm(a,b)=n]μ(a)μ(b)
を計算せよ。

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■46840 / inTopicNo.2)

　Re[1]: メビウス関数

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□投稿者/ みずき一般人(35回)-(2015/02/15(Sun) 21:59:45)

nが素因数pをm個(mは2以上の整数)持つとき、
最小公倍数がnとなる2つの正の整数a,bは
a=(p^s)・u,b=(p^t)・v
（u,vはそれぞれpと互いに素で、s≦m,t≦mの少なくとも一方の等号が成り立つ）
と表せます。
よって、Σ[a,b∈N,lcm(a,b)=n]μ(a)μ(b)=0です。

nがk個の異なる素因数を1つずつだけ持つとき、
Σ[a,b∈N,lcm(a,b)=n]μ(a)μ(b)
=1・(-1)^k+kC1(-1)^1・(-1)^(k-1)+・・・+kCk(-1)^k・1
=(-1-1)^k
=(-2)^k

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■46841 / inTopicNo.3)

　Re[2]: メビウス関数

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□投稿者/ 中瀬一般人(9回)-(2015/02/15(Sun) 22:19:29)

n=6のとき、
μ(1)μ(6)+μ(2)μ(3)+μ(3)μ(2)+μ(6)μ(1)
+μ(2)μ(6)+μ(6)μ(2)+μ(3)μ(6)+μ(6)μ(3)+μ(6)μ(6)
=1+1+1+1-1-1-1-1+1
=1

となりませんでしょうか？

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■46842 / inTopicNo.4)

　Re[3]: メビウス関数

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□投稿者/ みずき一般人(36回)-(2015/02/15(Sun) 22:29:24)

■No46841に返信(中瀬さんの記事)
> n=6のとき、
> μ(1)μ(6)+μ(2)μ(3)+μ(3)μ(2)+μ(6)μ(1)
> +μ(2)μ(6)+μ(6)μ(2)+μ(3)μ(6)+μ(6)μ(3)+μ(6)μ(6)
> =1+1+1+1-1-1-1-1+1
> =1
>
> となりませんでしょうか？

おっしゃる通りですね。すみません、間違えました。
今時間がないので、またあとで考えますね。

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■46843 / inTopicNo.5)

　Re[3]: メビウス関数

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□投稿者/ みずき一般人(37回)-(2015/02/16(Mon) 01:17:28)

nがk個の異なる素因数を1つずつだけ持つとき、
μ(a)μ(b)=(-1)^kとなる組(a,b)の個数は、kC0+kC1+・・・+kCk=2^k個です。
μ(a)μ(b)=(-1)^(k+1)となる組(a,b)の個数は、
a,bがk個のうちのある1つの素数をともに素因数に持つとき、
他のk-1個の素数は2^(k-1)通りの振り分け方があるので、k・2^(k-1)個です。
同様に考えることで、
Σ[a,b∈N,lcm(a,b)=n]μ(a)μ(b)
=(-1)^k・2^k+(-1)^(k+1)・kC1・2^(k-1)+(-1)^(k+2)・kC2・2^(k-2)
+(-1)^(k+3)・kC3・2^(k-3)+・・・+(-1)^(2k)・kCk・2^0
=(-1)^k・(-1+2)^k
=(-1)^k

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■46844 / inTopicNo.6)

　Re[1]: メビウス関数

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□投稿者/ メビウス関数一般人(1回)-(2015/02/16(Mon) 12:09:46)

Σ[a,b∈N,lcm(a,b)=n]μ(a)μ(b) = μ(n)

と、いうこと。

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■46847 / inTopicNo.7)

　Re[2]: メビウス関数

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□投稿者/ みずき一般人(38回)-(2015/02/16(Mon) 15:52:53)

■No46844に返信(メビウス関数さんの記事)
> Σ[a,b∈N,lcm(a,b)=n]μ(a)μ(b) = μ(n)
>
> と、いうこと。

おっしゃる通りですね。
そのようにきれいにまとめられるのですね。
ご指摘ありがとうございます。