数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[7]: 最大共通素因数 / Page: 0]

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■46825 / inTopicNo.1)

　最大共通素因数

□投稿者/ 中瀬一般人(1回)-(2015/02/15(Sun) 14:41:39)

分らない問題があるので、教えて下さい。

x→∞のとき、n≦xをみたす自然数たちで、それらの最大共通素因数が√nより大きなものの割合は正であることを示せ。

英語の訳しかたがマズイと思うので、原文も載せておきます。

Prove that, as x→∞, a positive proportion of integers n≦x have their greatest common prime factor ＞√n.

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■46826 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 最大共通素因数

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□投稿者/ らすかる大御所(251回)-(2015/02/15(Sun) 15:33:03)

日本語で「n≦xを満たす自然数たちの最大共通素因数」は
「1,2,3,…,nの共通素因数のうち最大のもの」という意味にとれますが、
当然1,2,3,…,nの共通素因数は存在しません。
英語の意味もよくわからないのですが、
一体どういう問題なのでしょう？

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■46827 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 最大共通素因数

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□投稿者/ 中瀬一般人(2回)-(2015/02/15(Sun) 16:27:48)

英語の整数論の教科書の演習問題で、問題は原文の通りなのです。
私も問題の意味をしっかり理解できているとは言えないのですが…
こういう意味ではないかと推測しているのですが…どうでしょうか？

x＞0を固定して、x以下の全ての素数をp[1],p[2],…,p[k]とします。
素数p[i](1≦i≦k)に対して、集合P[i]を以下で定めます。
P[i]={n|"nは自然数"かつ"n≦x"かつ"nの最大素因数がp[i]"かつ"p[i]＞√n"}
|P[i]|でP[i]の元の個数を表すとき、lim[x→∞](1/x)Σ[i=1,k]|P[i]|＞0を示せ。

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■46829 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 最大共通素因数

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□投稿者/ らすかる大御所(253回)-(2015/02/15(Sun) 17:36:06)

それって
「x以下の自然数nのうち、最大素因数が√n以上である自然数の割合」
ってことですよね？
そうだとすると「common」が意味をなしていない気がするのですが、
「common」の意味はどこに出てくるのでしょうか。

# 私が英語を知らないだけだったらごめんなさい。

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■46830 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 最大共通素因数

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□投稿者/ 中瀬一般人(3回)-(2015/02/15(Sun) 17:52:52)

P[i]に属するものはcommonだと考えたのですが、不自然でしょうか？

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■46831 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 最大共通素因数

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□投稿者/ 中瀬一般人(4回)-(2015/02/15(Sun) 17:56:33)

■No46829に返信(らすかるさんの記事)
> それって
> 「x以下の自然数nのうち、最大素因数が√n以上である自然数の割合」
> ってことですよね？
> そうだとすると「common」が意味をなしていない気がするのですが、
> 「common」の意味はどこに出てくるのでしょうか。
>
> # 私が英語を知らないだけだったらごめんなさい。

おっしゃる通りですね。。。

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■46836 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 最大共通素因数

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□投稿者/ 中瀬一般人(7回)-(2015/02/15(Sun) 20:15:56)

もしかして、
ある正の数aが存在して、
任意の正の数xに応じてうまくiを選べば、
|P[i]|/x>a
とできることを示せ、ということなのでしょうか？

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■46837 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 最大共通素因数

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□投稿者/ らすかる大御所(254回)-(2015/02/15(Sun) 20:36:59)

なるほど、そういう風に読めなくはないですね。
しかしそういう意味だとすると、
|P[i]|が最も大きくなるのはp[i]が√x付近の時で、
このとき|P[i]|≒√xとなり、
|P[i]|/x≒1/√xですから成り立たないと思います。