数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[7]: 素数の存在範囲を狭めて / Page: 0]

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■46808 / inTopicNo.1)

　素数の存在範囲を狭めて

□投稿者/ CEGIPO 一般人(1回)-(2015/02/14(Sat) 20:24:27)

素数の存在範囲
（既出だったらごめんなさい)

証明されている既存事実として、
//----------------------------
任意の自然数nに対して、
n≦p＜2n
を満たす素数pが必ず存在します
（チェビシェフの定理）
//----------------------------

これにもう少し強い予想をします。

//++++++++++++++++++++++++++++
条件を強くして

2以上の任意の自然数nに対して、
n≦p≦[11n/8]
を満たす素数pが必ず存在する
（CEGIPOの予想1）
//++++++++++++++++++++++++++++

//++++++++++++++++++++++++++++
さらに条件を強くして

2以上の任意の自然数nに対して、
[8n/7]≦p≦[11n/8]
を満たす素数pが必ず存在する
（CEGIPOの予想2）
//++++++++++++++++++++++++++++

但し上記で、[x]はガウス記号、すなわち、xを実数として
[x]は、m≦x＜m+1を満たす整数mのこととします

上記２予想は証明可能でしょうか？

※上記はあくまでも計算機での検証から推測した予想です。
（計算機で検証される時は丸め誤差に注意してください
当方Javaでプログラムを作成しましたが微差の補正が必要でした）

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■46809 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 素数の存在範囲を狭めて

▲▼■

□投稿者/ CEGIPO 一般人(2回)-(2015/02/14(Sat) 20:38:12)

（本人補足）
もしかしたら別の数学掲示板に書いていたかも知れませんが
そちらでガウス記号を書き落としていたように記憶しているので
ここに書いた予想が正式な予想です

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■46810 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 素数の存在範囲を狭めて

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□投稿者/ みずき一般人(29回)-(2015/02/14(Sat) 21:10:55)

予想1は正しいようです。

http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_postulate#Better_results
において
「In 1952, Jitsuro Nagura proved that for n≥25, there is always a prime between n and (1+1/5)n.」
とあります。

# 上のページに他の結果が載っているのでご覧になられると良いと思います。
# なお、チェビシェフの定理は「n≦p＜2n」ではなく「n＜p≦2n」だと思います。

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■46811 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 素数の存在範囲を狭めて

▲▼■

□投稿者/ みずき一般人(30回)-(2015/02/14(Sat) 21:13:36)

上の回答では文字化けがありました。
正しくは
「In 1952, Jitsuro Nagura proved that for n≧25, there is always a prime between n and (1+1/5)n.」
です。

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■46812 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 素数の存在範囲を狭めて

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□投稿者/ みずき一般人(31回)-(2015/02/14(Sat) 21:41:05)

予想２は正しくありません。
[8*7/7]=8≦p≦9=[11*7/8]
を満たす素数は存在しません。

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■46813 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 素数の存在範囲を狭めて

▲▼■

□投稿者/ WIZ 一般人(28回)-(2015/02/14(Sat) 22:57:42)

参考情報です。
スレ主さんは2以上の自然数で考えているようなので話は少しずれますが。

ベルトラン・チェビシェフの定理よりもっと強い結果もあって、
「任意の実数ε > 0に対して、自然数Mが存在し、自然数n ≧ Mならばn < p < (1+ε)nを満たす素数pが存在する」
というのがあります。
# 不等号が「<」だったか「≦」だったかは記憶が曖昧です。ごめんなさい。

ベルトラン・チェビシェフの定理はε = 1ならばM = 2ということで、上記定理に含まれます。

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■46815 / inTopicNo.7)

　Re[2]: 素数の存在範囲を狭めて

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□投稿者/ みずき一般人(32回)-(2015/02/15(Sun) 00:43:02)

>> WIZさん
> 不等号が「<」だったか「≦」だったかは記憶が曖昧です

私の46810のコメントのリンクページには
「for any real ε＞0 there is a n_0＞0 such that for all n＞n_0 there is a prime p such n＜p＜(1+ε)n.」
とあります。

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■46816 / inTopicNo.8)

　Re[2]: 素数の存在範囲を狭めて

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□投稿者/ CEGIPO 一般人(3回)-(2015/02/15(Sun) 07:34:14)

■No46812に返信(みずきさんの記事)
> 予想２は正しくありません。
> [8*7/7]=8≦p≦9=[11*7/8]
> を満たす素数は存在しません。

みずきさん、御指摘ありがとうございます。
全くその通りです。申し訳ない(;;)。
何かプログラムの作成時にすごい勘違いをしていたようです。

解決済み!

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■46817 / inTopicNo.9)

　Re[2]: 素数の存在範囲を狭めて

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□投稿者/ CEGIPO 一般人(4回)-(2015/02/15(Sun) 07:36:36)

■No46810に返信(みずきさんの記事)
> 予想1は正しいようです。
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_postulate#Better_results
> において
> 「In 1952, Jitsuro Nagura proved that for n≥25, there is always a prime between n and (1+1/5)n.」
> とあります。
>
> # 上のページに他の結果が載っているのでご覧になられると良いと思います。
> # なお、チェビシェフの定理は「n≦p＜2n」ではなく「n＜p≦2n」だと思います。

2nは素数ではないので、たぶん、n≦p＜2nで良いと思うのですが...

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■46818 / inTopicNo.10)

　Re[3]: 素数の存在範囲を狭めて

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□投稿者/ CEGIPO 一般人(5回)-(2015/02/15(Sun) 07:38:29)

■No46815に返信(みずきさんの記事)
> >> WIZさん
>>不等号が「<」だったか「≦」だったかは記憶が曖昧です
>
> 私の46810のコメントのリンクページには
> 「for any real ε＞0 there is a n_0＞0 such that for all n＞n_0 there is a prime p such n＜p＜(1+ε)n.」
> とあります。

ああ、みずきさんはこの表記に従ったのですね。
2nの場合に2nが合成数になるのでn≦p＜2nと僕は書いたのでした。

解決済み!

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■46819 / inTopicNo.11)

　Re[4]: 素数の存在範囲を狭めて

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□投稿者/ みずき一般人(33回)-(2015/02/15(Sun) 07:46:01)

■No46818に返信(CEGIPOさんの記事)

> ああ、みずきさんはこの表記に従ったのですね。

いいえ、違います。

> 2nの場合に2nが合成数になるのでn≦p＜2nと僕は書いたのでした。

n=1のときに2n=2は素数です。
CEGIPOさんが書かれた
「任意の自然数nに対してn≦p＜2nを満たす素数pが必ず存在する」
だとn=1のときに1≦p＜2となってしまい、これを満たす素数pが存在しません。
n＜p≦2nであればこの心配がなくなります。

# もちろん、n≧2とするのであれば、話は変わってきます。

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■46820 / inTopicNo.12)

　Re[2]: 素数の存在範囲を狭めて

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□投稿者/ CEGIPO 一般人(6回)-(2015/02/15(Sun) 07:52:02)

■No46812に返信(みずきさんの記事)
> 予想２は正しくありません。
> [8*7/7]=8≦p≦9=[11*7/8]
> を満たす素数は存在しません。

プログラムを見直してみたのですが、
εを正実数、
2以上の任意の自然数nに対して、
[8n/7-ε]≦p≦[11n/8]
を満たす素数pが必ず存在する
（CEGIPOの予想2'）

とすると成り立つかも知れません。

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■46821 / inTopicNo.13)

　Re[5]: 素数の存在範囲を狭めて

▲▼■

□投稿者/ CEGIPO 一般人(7回)-(2015/02/15(Sun) 07:56:14)

■No46819に返信(みずきさんの記事)
> ■No46818に返信(CEGIPOさんの記事)
>
>>ああ、みずきさんはこの表記に従ったのですね。
>
> いいえ、違います。

すみません。

>
>>2nの場合に2nが合成数になるのでn≦p＜2nと僕は書いたのでした。
>
> n=1のときに2n=2は素数です。
> CEGIPOさんが書かれた
> 「任意の自然数nに対してn≦p＜2nを満たす素数pが必ず存在する」
> だとn=1のときに1≦p＜2となってしまい、これを満たす素数pが存在しません。
> n＜p≦2nであればこの心配がなくなります。
>
> # もちろん、n≧2とするのであれば、話は変わってきます。

確かに2*1=2は素数でしたね。

僕はn≧2の前提で考えました。前提条件に注意が必要ですね。

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■46822 / inTopicNo.14)

　Re[6]: 素数の存在範囲を狭めて

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□投稿者/ みずき一般人(34回)-(2015/02/15(Sun) 07:59:35)

■No46821に返信(CEGIPOさんの記事)
> 僕はn≧2の前提で考えました。前提条件に注意が必要ですね。

ベルトランの仮説（いわゆるチェビシェフの定理のこと）のWikiページ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%81%AE%E4%BB%AE%E8%AA%AC
に
「自然数 n≧2 に対して、n＜p≦2n を満たす素数 p が存在する」
とあることをお知らせしておきます（これはn=1でも言えています）。

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■46823 / inTopicNo.15)

　Re[7]: 素数の存在範囲を狭めて

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□投稿者/ CEGIPO 一般人(8回)-(2015/02/15(Sun) 08:14:35)

■No46822に返信(みずきさんの記事)
> ■No46821に返信(CEGIPOさんの記事)
>>僕はn≧2の前提で考えました。前提条件に注意が必要ですね。
>
> ベルトランの仮説（いわゆるチェビシェフの定理のこと）のWikiページ
> http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%81%AE%E4%BB%AE%E8%AA%AC
> に
> 「自然数 n≧2 に対して、n＜p≦2n を満たす素数 p が存在する」
> とあることをお知らせしておきます（これはn=1でも言えています）。

わかりました。n≧2に対してn＜p≦2nですね。
wikipediaであらためて確認しました。ありがとうございます。

解決済み!

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■46824 / inTopicNo.16)

　Re[3]: 素数の存在範囲を狭めて

▲▼■

□投稿者/ CEGIPO 一般人(9回)-(2015/02/15(Sun) 08:15:55)

> 2nは素数ではないので、たぶん、n≦p＜2nで良いと思うのですが...

n＜p≦2nで理解しました。

解決済み!

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