 | 別解
# スレ主さんはもう見てないかもしれないけど。
私も式の部分は(m^3)n-m(n^3)と解釈して回答します。
m, nが自然数ということなので、m = nの場合の
(m^3)n-m(n^3) = mn(m-n)(m+n) = 0
が解なのかどうかは微妙です。
(m^3)n-m(n^3) > 0、つまりm > nとなる解が無いことは以下の様に証明できます。
xを自然数として、(m^3)n-m(n^3) = x^2だったと仮定します。
mとnの少なくとも一方が偶数の場合、(m^3)n-m(n^3) = x^2は偶数です。
mとnの両方が奇数の場合も、(m^3)n-m(n^3) = x^2は偶数です。
以上から、xは偶数となるので、x^2 ≡ 0 (mod 4)となります。
mが偶数でnが奇数であるとすると、(m^3)n ≡ 0, m(n^3) ≡ 2 (mod 4)より、
(m^3)n-m(n^3) ≡ 2 ≡ 0 ≡ x^2 (mod 4)と不合理です。
mが奇数でnが偶数であるとしても、(m^3)n ≡ 2, m(n^3) ≡ 4 (mod 4)より、
(m^3)n-m(n^3) ≡ 2 ≡ 0 ≡ x^2 (mod 4)とやはり不合理です。
(m^3)n-m(n^3) = x^2のxを最小の自然数とする解を(m, n, x) = (a, b, c)とします。
# 勿論x = cとなる解はm = a, n = bの一通りに限るとは言えませんが。
aとbは共に偶数であるか、共に奇数であるかなので、a ≡ b (mod 2)となります。
よって、a+bとa-bは共に自然数の偶数となり、ある自然数u, vを用いて
a+b = 2u, a-b = 2v ⇒ a = u+v, b = u-v
と表せます。
すると、
(a^3)b-a(b^3) = ab(a-b)(a+b) = c^2
⇒ (u+v)(u-v)(2v)(2u) = 4{(u^3)v-u(v^3)} = c^2
⇒ (u^3)v-u(v^3) = (c/2)^2
cは偶数なので、c/2は自然数です。
上記式は(m^3)n-m(n^3) = x^2の解においてx = cが最小であることに矛盾します。
従って(m^3)n-m(n^3) = x^2を満たす自然数m, n, xの解が存在するという仮定が誤りで、
(xが自然数となる)解は存在しません。
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