 | 別掲示板でもある形の素数の確率(割合と言った方が良いかも)についての質問があり、
そちらに回答したのと同じ内容ですが貼り付けておきます。
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Li(x) = ∫[2,x]{1/log(t)}dtを対数積分(の一種)、ψ(a)をオイラーのトーシェント関数とします。
(ディリクレの)算術級数定理のWikipediaをご覧になれば記載されていますが、
自然数a, bが(a, b) = 1であり、正の実数x以下のaを法としてbに合同な自然数の素数の個数は
π[a,b](x) 〜 Li(x)/ψ(a)
で表されます。
また素数定理により、x以下の素数の個数は
π(x) 〜 Li(x)
です。
以上からx→∞のとき漸近的にはan+bと表される自然数の割合はbの値によらず
π[a,b](x)/π(x) 〜 1/ψ(a)
となります。
特にpを自然数の素数とすれば、b = {1, 2, ・・・p-1}について、pn+bとなる素数の割合は
1/ψ(p) = 1/(p-1)となります。
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以上から、「3で割って1余る確率は1/2」というのは正しいと思います。
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