 | 問題文から、
(a, ad-bc) = 1 ⇒ (a, b) = (a, c) = 1
(d, ad-bc) = 1 ⇒ (d, b) = (d, c) = 1
(b, ad-bc) = 1 ⇒ (b, a) = (b, d) = 1
(c, ad-bc) = 1 ⇒ (c, a) = (c, d) = 1
です。
(ad-bc)|(ax+by)ということは、ある整数kが存在して以下の様に表せるということです。
ax+by = k(ad-bc) ⇒ a(x-kd) = -b(y+kc)
(a, b) = 1より、x-kdはbの倍数で、y+kcはaの倍数であることが必要です。
整数mを用いてx-kd = mbとおけば、a(x-kd) = mab = -b(y+kc)より、y+kc = -maとなります。
よって、x = mb+kd, y = -ma-kcと表せます。
以上から、cx+dy = c(mb+kd)+d(-ma-kc) = m(cb-ad)となり、(ad-bc)|(cx+dy)と言えますので、
「(ad-bc)|(ax+by) ⇒ (ad-bc)|(cx+dy)」は成立します。
逆方向の証明もほぼ同様にできますので省略します。
|