 | cos2x-2を(cos(2x))-2だとして回答します。
f(x)=(cos(2x)-2)/(acosx+1)
f'(x)=sinx{-2a(cosx)^2-4cosx-3a}/(acosx+1)^2
ここでg(x)=-2a(cosx)^2-4cosx-3aとおくと
g(x)≧0⇔a≦-4cosx/(2(cosx)^2+3)
ここでh(x)=-4cosx/(2(cosx)^2+3)とおくと簡単な考察から
h(2m)=-4/5≦h(x)≦4/5=h((2m-1)π) （mは整数）
aの値で場合分けをします。
（ⅰ）a=0のとき、f(x)=cos(2x)-2の最大値は-1
（ⅱ）-4/5≦a＜0または0＜a≦4/5のとき
f(x)の最大値はmax(f(mπ),f(α))
ただし、αはg(α)=0⇔a=-4cosα/(2(cosα)^2+3)を満たすとします。
f(mπ)=(cos(2mπ)-2)/(acos(mπ)+1)=-1/(a+1)または-1/(-a+1)
f(α)=(cos(2α)-2)/(acosα+1)=-2(cosα)^2-3=4cosα/a=(-4±2√(4-6a^2))/a^2
max(f(mπ),f(α))=max(-1/(a+1),-1/(-a+1),(-4+2√(4-6a^2))/a^2)
=max(-1/(a+1),-1/(-a+1))
（ⅲ）-1＜a＜-4/5または4/5＜a＜1のとき
f(x)の最大値はmax(f(mπ))=max(-1/(a+1),-1/(-a+1))
以上により、-1/(a+1)と-1/(-a+1)の大小を比較することに帰着され、
f(x)の最大値は-1/(-a+1) (-1＜a≦0のとき),-1/(a+1) (0＜a＜1のとき)
(a=0のときもこれで良い)
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