数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 偶数 / Page: 0]

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■46733 / inTopicNo.1)

　偶数

□投稿者/ ハンダイ一般人(1回)-(2015/01/24(Sat) 10:09:36)

nは2以上の自然数。
n個の0でない実数a[1],a[2],…,a[n]が
(i) a[1]+a[n]=0
(ii) a[k+1]=(a[1]+a[k])/(1-a[1]a[k])　(k=1,2,…,n-1)
をみたすとき、nは偶数であることを示せ。

お願いします。

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■46735 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 偶数

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□投稿者/ らすかるベテラン(242回)-(2015/01/24(Sat) 22:12:33)

a[k]=tan(b[k])　（-π/2＜b[k]＜π/2）とおくと
tan(b[k+1])=a[k+1]=(a[1]+a[k])/(1-a[1]a[k])
=(tanb[1]+tanb[k])/(1-tanb[1]tanb[k])=tan(b[1]+b[k])
なのでb[k+1]=b[1]+b[k]+c[k]π　（c[k]は整数）
よってb[k]=kb[1]+d[k]π　（d[k]は整数）
(i)からtan(b[n])=-tan(b[1])なのでb[n]=-b[1]
従って
nb[1]+d[n]π=b[n]=-b[1]
b[1]=-d[n]π/(n+1)
∴b[k]=π{d[k]-kd[n]/(n+1)}
もしnが奇数だとすると
k=(n+1)/2のときb[k]=π{d[k]-d[n]/2}となり
d[k]≠0, -π/2＜b[k]＜π/2 という条件と矛盾。
従ってnは偶数。

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■46736 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 偶数

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□投稿者/ ハンダイ一般人(3回)-(2015/01/25(Sun) 00:28:04)

わかりました。
有難うございます。

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■46742 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 偶数

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□投稿者/ WIZ 一般人(17回)-(2015/01/26(Mon) 07:58:19)

2015/01/26(Mon) 08:11:26 編集(投稿者)

>らすかるさん

証明の結論は「-π/2＜b[k]＜π/2 という条件と矛盾」ということですが、
「-π/2＜b[k]＜π/2」というのは証明の最初でそのように定義しただけで
題意が成立する為の必要条件ではないと思います。
「-π/2＜b[k]＜π/2」が必要条件であるなら、そのことを別途証明しなければなりません。
もし、上記が証明されないのならば「tan(b[n])=-tan(b[1])なのでb[n]=-b[1]」も成立せず、
証明全体が無意味になってしまいます。

もう一点。
証明の結論で「d[k]≠0」が使われていますが、説明が不足していると思います。
|b[1]| > π/(2n)ならば|n*b[1]| > π/2となり、
c[n], d[n]はb[n] = n*b[1]を|b[n]| < π/2とするための調整用の数値なのだと想像しますが。
そうなら「b[n]=-b[1]」もある整数mを用いてb[n] = -b[1]+mπでもいい訳で、
c[n], d[n]の具体的意味とどうしてd[k] ≠ 0と言えるのかが不明です。

更にa[k] ≠ 0つまりb[k] ≠ 0(或いはπの整数倍でない)という配慮もなく・・・。

私の勘違いならごめんなさい。

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■46743 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 偶数

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□投稿者/ らすかるベテラン(243回)-(2015/01/26(Mon) 09:27:19)

2015/01/26(Mon) 09:45:58 編集(投稿者)

> 証明の結論は「-π/2＜b[k]＜π/2 という条件と矛盾」ということですが、
> 「-π/2＜b[k]＜π/2」というのは証明の最初でそのように定義しただけで
> 題意が成立する為の必要条件ではないと思います。

a[k]が存在すれば必ず
a[k]=tan(b[k])　(-π/2＜b[k]＜π/2)
を満たすb[k]が存在しますので、これを満たすb[k]が存在しなければ
a[k]も存在しないことになると思います。

> 証明の結論で「d[k]≠0」が使われていますが、説明が不足していると思います。

すみません、「d[k]≠0」は「b[k]≠0」の誤りです。

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■46748 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 偶数

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□投稿者/ WIZ 一般人(18回)-(2015/01/26(Mon) 18:08:37)

b[k]の存在とa[k]の存在は同値なので、b[k]の存在は必要条件ということですね。

私は「-π/2＜b[k]＜π/2 という条件と矛盾」という表現から、
b[k] = arctan(a[k])を一価関数とするために値域を(-π/2, π/2)に選んだものと解釈しました。
しかし、a[k] ≠ 0, ±∞なので、値域として(-π/2, π/2)以外にも選択肢があり、
b[k] ∈ (-π/2, π/2)つまり「-π/2＜b[k]＜π/2」は十分条件の1つに過ぎないと思っていました。

必要条件が否定されれば、元々の命題も成立しないと言えると思いますが、
十分条件の1つと矛盾しても、元々の命題が否定されることにはならないと考えました。

それと「b[k]≠0」の書き誤りだったのですね。
これで全体のつながりが見えてきました。

スレ汚し申し訳ありませんでした。

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