 | 2015/01/23(Fri) 23:31:29 編集(投稿者)
x^2-1/x^2=(x-1/x)(x+1/x) なので
x^2-1/x^2が整数でx-1/xが0でない有理数ならばx+1/xも有理数。
従って(x+1/x)-(x-1/x)=2/xも有理数なのでxも有理数（またx≠0）。
よってx=p/q（pは0でない整数、qは正整数でp,qは互いに素）とおける。
x^2-1/x^2=n に代入して整理すると
p^4=q^2(np^2+q^2) となり、pとqは互いに素なのでq=1。
また変形すると q^4=p^2(p^2-nq^2) となるのでp=±1。
従ってx=±1となるがこれは条件に反する。
よって条件を満たすxは存在しない。
|