 | 自然数n ≧ 3で漸化式a[n] = 11a[n-1]-18a[n-2]を満たし、
初期条件a[1] = 7, a[2] = 35である数列{a[n]}の一般項を求めるという問題と解釈して回答します。
特性方程式はx^2-11x+18 = (x-2)(x-9) = 0なので、漸化式は以下の様に変形できます。
a[n]-2a[n-1] = 9(a[n-1]-2a[n-2]) = {9^(n-2)}(a[2]-2a[1])
a[n]-9a[n-1] = 2(a[n-1]-9a[n-2]) = {2^(n-2)}(a[2]-9a[1])
よって、
(-2-(-9))a[n-1] = 21{9^(n-2)}-(-28){2^(n-2)}
⇒ a[n-1] = 3{9^(n-2)}+4{2^(n-2)}
⇒ a[n] = 3^(2n-1)+2^(n+1)
上記式はn = 1のa[1] = 7, n = 2のa[2] = 35でも成り立つので、
任意の自然数nで一般項は上記式となります。
一般項a[n]が7で割りきれることは、以下の様に示せます。
(1)n = 1とn = 2では成立します。
(2)kを自然数として、n = kとn = k+1で成立すると仮定します。
つまりある整数x, yが存在して、a[k] = 7x, a[k+1] = 7yと表せるものとします。
k+2 ≧ 3ですから、漸化式よりa[k+2] = 11a[n-1]-18a[n-2] = 7(11x-18y)となり、
a[k+2]も7で割り切れることになります。
以上から数学的帰納法により任意の自然数nでa[n]は7で割り切れると言えます。
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