数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 数列の極限 / Page: 0]

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■46639 / inTopicNo.1)

　数列の極限

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□投稿者/ magic soap 一般人(1回)-(2015/01/07(Wed) 23:16:47)

{a[n]}は有界な実数列で、任意の番号nに対し
a[n]-a[n+1]＞1/2^n
をみたすならば、{a[n]}は収束することを示せ。

お願いします。

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■46641 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列の極限

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□投稿者/ らすかるベテラン(230回)-(2015/01/07(Wed) 23:58:42)

a[n]-a[n+1]＞1/2^n
は
a[n]-a[n+1]＞0
で十分な気がしますが、問題は正しいですか？

# 私の勘違いでしたらごめんなさい。

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■46642 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数列の極限

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□投稿者/ magic soap 一般人(2回)-(2015/01/08(Thu) 00:10:14)

申し訳ありません、
a[n]-a[n+1]＜1/2^n
でした。

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■46643 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 数列の極限

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□投稿者/ らすかるベテラン(231回)-(2015/01/08(Thu) 00:42:07)

b[n]=a[n]-1/2^(n-1) とおけば{b[n]}も有界な実数列で、
a[n]-a[n+1]={b[n]+1/2^(n-1)}-{b[n+1]+1/2^n}＜1/2^n すなわち
b[n]-b[n+1]＜0 となるから{b[n]}は単調有界数列なので収束、
よって{a[n]}も収束。

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■46644 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 数列の極限

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□投稿者/ magic soap 一般人(3回)-(2015/01/08(Thu) 00:51:02)

なるほど！！
ありがとうございました。

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