 | スレ主さんと同じ人かどうか分かりませんが、同じ問題が別掲示板にも質問されていましたので、
回答として完成してないし自信もないけど参考になるかもしれない情報を書きます。
かなり強引な計算かもしれないので、間違っていたらごめんなさい。
(1)「左側 → 右側」の証明
g(c) = lim[x→∞]{f(cx)/f(x)} = 1とおくと、g(c)の定義域はc > 0でありg(c)は定数関数なので、
(d/dc)g(c) = 0
= lim[x→∞]{(d/d(cx))(f(cx)/f(x))(d(cx)/dc)}
= lim[x→∞]{(f'(cx)/f(x))(x)}
= lim[x→∞]{x*f'(cx)/f(x)}
上記でc = 1とすれば、
lim[x→∞]{x*f'(x)/f(x)} = 0
(2)「lim[x→∞]{x*f'(cx)/f(x)} = 0 → 左側」の証明
lim[x→∞]{x*f'(cx)/f(x)} = 0の両辺をcで積分して、積分定数をAとすれば、
lim[x→∞]{f(cx)/f(x)} = Aとなります。
c = 1とするとlim[x→∞]{f(1x)/f(x)} = 1より、A = 1となります。
「右側 → lim[x→∞]{x*f'(cx)/f(x)} = 0」或いは直接「右側 → 左側」の証明は思い付けませんでした。
|
