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■46618 / inTopicNo.1) 　多項式が互いに素
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□投稿者/ 千鳥 一般人(1回)-(2015/01/01(Thu) 21:52:50)
    m,nが自然数のとき、x^mと(1-x)^nが互いに素であることを示したいのですが、よろしくお願いします。
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■46621 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 多項式が互いに素
□投稿者/ らすかる ベテラン(227回)-(2015/01/01(Thu) 23:36:53)
    その「互いに素」の定義は何ですか？
    普通に考えると「互いに素」は「共通因数を持たない」という意味であり、
    x^mの因数はxのみ、(1-x)^nの因数は1-xのみで、
    xと1-xが互いに素なので互いに素
    で終わってしまう気がしますが…

    # もし私の勘違いでしたらごめんなさい。

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■46622 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 多項式が互いに素
□投稿者/ 千鳥 一般人(2回)-(2015/01/02(Fri) 00:09:20)
    互いに素の定義は、
    x^m*f(x)+(1-x)^n*g(x)=1
    となる整数係数の多項式f(x),g(x)が存在するです。

    xと1-xが互いに素であることからf(x),g(x)の存在がいえるのでしょうか？
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■46623 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 多項式が互いに素
□投稿者/ らすかる ベテラン(228回)-(2015/01/02(Fri) 01:14:05)
    それでしたら、例えば

    m≦2^pとなるpをとり、
    (1-x)^n・(1+x)^n=(1-x^2)^n
    (1-x^2)^n・(1+x^2)^n=(1-x^4)^n
    ・・・
    を利用して
    g(x)=(1+x)^n・(1+x^2)^n・(1+x^4)^n・…・(1+x^(2^(p-1)))^n
    とすれば
    (1-x)^n・g(x)=(1-x^(2^p))^n
    となり、
    これを展開すると1以外の項はすべて2^p次以上ですから
    (1-x)^n・g(x)-1 はx^mで割り切れます。
    従って
    f(x)=-{(1-x)^n・g(x)-1}/(x^m) とおくことで
    x^m・f(x)=-{(1-x)^n・g(x)-1} となりますので
    x^m・f(x)+(1-x)^n・g(x)=1
    となりますね。
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■46625 / inTopicNo.5) 　Re[4]: 多項式が互いに素
□投稿者/ 千鳥 一般人(3回)-(2015/01/02(Fri) 10:23:59)
    こんな素晴らしいアイデアをありがとうございます。
解決済み!
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