数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 複素数 / Page: 0]

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■46594 / inTopicNo.1)

　複素数

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□投稿者/ めりん一般人(1回)-(2014/12/30(Tue) 08:35:07)

(1+ti)/(1-ti) (i:虚数の単位、tは適当な実数) の形で表せない複素数をすべて求めよ。

という問題なのですが、教えて下さい。

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■46595 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 複素数

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□投稿者/ らすかるベテラン(221回)-(2014/12/30(Tue) 11:05:26)

(1+ti)/(1-ti)=(1-t^2)/(1+t^2)+{2t/(1+t^2)}i
{(1-t^2)/(1+t^2)}^2+{2t/(1+t^2)}^2=1
-1＜(1-t^2)/(1+t^2)≦1
-1≦2t/(1+t^2)≦1
よって(1+ti)/(1-ti)の形で表せる複素数は
単位円から-1を除いた点だけなので、
表せないのは単位円上にない複素数と-1

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■46596 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 複素数

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□投稿者/ めりん一般人(2回)-(2014/12/30(Tue) 19:42:27)

ありがとうございました。

解決済み!

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■46597 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 複素数

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□投稿者/ みずき一般人(4回)-(2014/12/30(Tue) 19:46:16)

>>らすかるさん

『(1+ti)/(1-ti)の形で
-1以外の単位円上の「すべての」複素数を表せる』
ことを証明するには、

>(1+ti)/(1-ti)=(1-t^2)/(1+t^2)+{2t/(1+t^2)}i
>{(1-t^2)/(1+t^2)}^2+{2t/(1+t^2)}^2=1
>-1＜(1-t^2)/(1+t^2)≦1
>-1≦2t/(1+t^2)≦1

だけだと不十分なように感じますが・・・

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■46600 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 複素数

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□投稿者/ らすかるベテラン(223回)-(2014/12/30(Tue) 20:05:40)

おっしゃる通り、解答としては不足ですね。
略解のつもりでしたので不足分は質問者が補えば良いと思っていましたが、
私が頭の中で考えていた理屈を書きます。

-1＜(1-t^2)/(1+t^2)≦1 は
t=0のとき(1-t^2)/(1+t^2)=1、t→±∞のとき(1-t^2)/(1+t^2)→-1で
(1-t^2)/(1+t^2)は連続関数なので、
(1-t^2)/(1+t^2)はt≧0のときもt≦0のときも
それぞれ-1＜(1-t^2)/(1+t^2)≦1の範囲のすべての値をとる
また{(1-t^2)/(1+t^2)}^2+{2t/(1+t^2)}^2=1で
2t/(1+t^2)の符号はtの符号と同じなので、
-1＜(1-t^2)/(1+t^2)≦1に対して2t/(1+t^2)は正負どちらの値もとる
よって-1以外の単位円上のすべての複素数の値をとる。

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■46601 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 複素数

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□投稿者/ みずき一般人(5回)-(2014/12/30(Tue) 20:17:41)

>>らすかるさん

（重箱の隅をつつくようで申し訳ないですが）
それでも、例えば、cosθ+isinθ(-π/2≦θ＜π)
のようになっている可能性を除外できませんよね。

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■46602 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 複素数

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□投稿者/ らすかるベテラン(224回)-(2014/12/30(Tue) 20:26:32)

なぜでしょうか？
tが0から+∞までの間に(1-t^2)/(1+t^2)は1から-1まで連続的に変化し、
その(1-t^2)/(1+t^2)の値に対して2t/(1+t^2)は√{1-{(1-t^2)/(1+t^2)}}
の値をとるわけですから、単位円の上側を半周することになります。
そして
tが0から-∞までの間に(1-t^2)/(1+t^2)は1から-1まで連続的に変化し、
その(1-t^2)/(1+t^2)の値に対して2t/(1+t^2)は-√{1-{(1-t^2)/(1+t^2)}}
の値をとるわけですから、単位円の下側を半周することになります。
これでも単位円-{-1}の全体の値をとると言えていないということですか？

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■46603 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 複素数

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□投稿者/ みずき一般人(6回)-(2014/12/30(Tue) 20:36:29)

>>らすかるさん

ごめんなさい。私に勘違いがあったようです。
「(1-t^2)/(1+t^2),2t/(1+t^2)の取り得る値は、
-1＜(1-t^2)/(1+t^2)≦1,-1≦2t/(1+t^2)≦1」
とだけ書かれていると読み取ってしまいました。

ちなみに、t=tanθ(-π/2＜θ＜π/2)とおいて
(1-t^2)/(1+t^2)=cos(2θ),2t/(1+t^2)=sin(2θ)
を導いてもよいですね。

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■46604 / inTopicNo.9)

　Re[7]: 複素数

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□投稿者/ らすかるベテラン(225回)-(2014/12/30(Tue) 23:04:32)

2014/12/30(Tue) 23:17:32 編集(投稿者)

もしt=tanθとするならば、最初から代入して
(1+ti)/(1-ti)
=(1+itanθ)/(1-itanθ)
=(cosθ+isinθ)/(cosθ-isinθ)
=(cosθ+isinθ)^2
=cos2θ+isin2θ
のようにすると簡単ですね。

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■46605 / inTopicNo.10)

　Re[8]: 複素数

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□投稿者/ みずき一般人(7回)-(2014/12/31(Wed) 00:07:16)

厳密かつ簡潔かつ明瞭で申し分ないですね。

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