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■46583 / inTopicNo.1) 　有理数の性質
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□投稿者/ 27 一般人(1回)-(2014/12/27(Sat) 14:40:43)
    a,b,c,dは自然数で、ad-bc=-1をみたしています。
    a/b≦α＜c/dをみたす実数αをひとつとります。
    このとき、次の不等式のうち少なくともひとつが
    成立していることを教えていただけないでしょうか。
    |α-a/b|＜1/(b^2*√5)
    |α-c/d|＜1/(d^2*√5)
    |α-(a+c)/(b+d)|＜1/((b+d)^2*√5))
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■46588 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 有理数の性質
□投稿者/ みずき 一般人(1回)-(2014/12/29(Mon) 00:45:02)
    冗長な証明を書くのはやや気が引けますが、
    どなたも回答されないようなので証明の概要だけ書くことにします。
    （ad-bc=-1という条件から、関係式をb/dだけで表せるので、
    b/d=tなどとおいて考えれば分かりやすいかと思います。）

    ad-bc=-1を満たすような自然数a,b,c,dに対して、
    a/b≦α＜c/d
    |α-a/b|≧1/(b^2*√5)
    |α-c/d|≧1/(d^2*√5)
    |α-(a+c)/(b+d)|≧1/((b+d)^2*√5))
    をすべて満たすような実数αが存在すると仮定します。

    まず、a/b＜(a+c)/(b+d)＜c/d に注意します。

    次に、
    |α-a/b|≧1/(b^2*√5) かつ |α-c/d|≧1/(d^2*√5)
    ⇔a/b+1/(b^2*√5)≦α≦c/d-1/(d^2*√5)　・・・(ⅰ)
    を満たすαが存在するには、
    a/b+1/(b^2*√5)≦c/d-1/(d^2*√5)
    ⇔(√5-1)/2≦b/d≦(√5+1)/2　・・・(ⅱ)
    が必要であることに注意します。

    (ⅰ)を満たすαのうち、(a+c)/(b+d)との距離が最大となるのは、
    α=a/b+1/(b^2*√5) または α=c/d-1/(d^2*√5)
    であって、(ⅱ)のとき、
    |a/b+1/(b^2*√5)-(a+c)/(b+d)|≦1/((b+d)^2*√5))
    かつ
    |c/d-1/(d^2*√5)-(a+c)/(b+d)|≦1/((b+d)^2*√5))
    が言えるので、(ⅰ)を満たす任意のαに対して、
    |α-(a+c)/(b+d)|≦1/((b+d)^2*√5)) が成立します。

    よって、
    1/((b+d)^2*√5))≦|α-(a+c)/(b+d)|≦1/((b+d)^2*√5))
    ⇒|α-(a+c)/(b+d)|=1/((b+d)^2*√5))
    ⇒α=(a+c)/(b+d)±1/((b+d)^2*√5))
    が導かれ、このとき、
    (ⅱ)かつ|α-a/b|≧1/(b^2*√5)かつ|α-c/d|≧1/(d^2*√5)
    ⇒b/d=(√5干1)/2　（複号同順）
    が導かれますが、これを満たす自然数b,dは存在せず、冒頭の仮定に矛盾します。
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■46599 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 有理数の性質
□投稿者/ 27 一般人(3回)-(2014/12/30(Tue) 20:00:57)
    ありがとうございました。
    とてもよく理解できました。

    これを使って
    任意の正の実数αに対して
    |α-p/q|≦1/(q^2*√5)
    をみたす自然数p,qの組が無数に存在することを証明したいのですが、教えていただけないでしょうか。
    よろしくお願いします。
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■46606 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 有理数の性質
□投稿者/ みずき 一般人(8回)-(2014/12/31(Wed) 01:32:37)
    直接の回答になっていないかもしれませんが、ひとまず書いておきます。

    スレ主さんはご存知かもしれませんが、
    Hurwitz(フルヴィッツ)の定理:
    「すべての無理数αに対して、|α-p/q|＜1/((√5)q^2)
    を満たすような互いに素な整数p,qが存在する」
    という定理があるようですね。

    http://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz%27s_theorem_(number_theory)
    http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/409_kazu5.htm

    などを見られると良いかと思います。
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■46607 / inTopicNo.5) 　Re[4]: 有理数の性質
□投稿者/ みずき 一般人(9回)-(2014/12/31(Wed) 04:09:49)
    訂正します。「無限に多く」を書き忘れていました。

    Hurwitz(フルヴィッツ)の定理:
    「すべての無理数αに対して、|α-p/q|＜1/((√5)q^2)
    を満たすような互いに素な整数p,qが無限に多く存在する」
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■46608 / inTopicNo.6) 　Re[5]: 有理数の性質
□投稿者/ 27 一般人(4回)-(2014/12/31(Wed) 08:50:28)
    その定理が演習になっているのですが、考えてもわからないし解答もなくて困っているんです。
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■46616 / inTopicNo.7) 　Re[6]: 有理数の性質
□投稿者/ みずき 一般人(10回)-(2014/12/31(Wed) 20:51:14)
    実数の連分数展開がカギのように思います。
    有名事実を既知として証明の概要を述べます。

    正の実数αが有理数ならば、α=n/m（既約分数表示）に対して、
    (p,q)=(nk,mk)（kは2以上の整数）とすれば、
    |α-p/q|=|n/m-n/m|=0≦1/((mk)^2*√5)
    が成立するので、|α-p/q|≦1/(q^2*√5)
    を満たす自然数p,qの組は無数に存在します。

    正の実数αが無理数の場合を考えます。
    αを連分数展開し、得られた連分数を途中で切ることで
    有理数[c[0],c[1],・・・,c[k]]が得られます。
    実は、数列{p[k]},{q[k]}を
    p[k]=c[k]p[k-1]+p[k-2],p[-1]=1,p[0]=c[0]
    q[k]=c[k]q[k-1]+q[k-2],q[-1]=0,q[0]=1
    で定めると、任意の自然数kに対して、
    p[k]/q[k]=[c[0],c[1],・・・,c[k]]
    であり、
    p[2k]/q[2k]＜p[2k+2]/q[2k+2]＜α＜p[2k+1]/q[2k+1]＜p[2k-1]/q[2k-1]
    および
    p[2k]q[2k-1]-q[2k]p[2k-1]=-1
    が成立することが知られています。

    よって、自然数の組(p[2k],q[2k],p[2k-1],q[2k-1])は
    p[2k]q[2k-1]-q[2k]p[2k-1]=-1かつp[2k]/q[2k]＜α＜p[2k-1]/q[2k-1]
    を満たしているので、すでに示したように
    |α-p[2k]/q[2k]|＜1/((q[k])^2*√5)
    |α-p[2k-1]/q[2k-1]|＜1/((q[2k-1])^2*√5)
    |α-(p[2k]+p[2k-1])/(q[2k]+q[2k-1])|＜1/((q[2k]+q[2k-1])^2*√5))
    のうち少なくとも一つは成立します。

    さらに、任意の自然数kに対して、
    p[2k]/q[2k]＜(p[2k]+p[2k-1])/(q[2k]+q[2k-1])＜p[2k+2]/q[2k+2]＜α＜p[2k+1]/p[2k+1]＜p[2k-1]/q[2k-1]
    が成立することに注意すれば、
    |α-p/q|≦1/(q^2*√5)
    を満たす自然数p,qの組は無数に存在することが分かります。
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■46617 / inTopicNo.8) 　Re[7]: 有理数の性質
□投稿者/ みずき 一般人(11回)-(2015/01/01(Thu) 19:57:25)
    少々添え字にずれがありましたので、訂正します。失礼しました。
    以下が正しいです。

    （前略）
    自然数の組(p[2k],q[2k],p[2k+1],q[2k+1])は
    p[2k]q[2k+1]-q[2k]p[2k+1]=-1
    p[2k]/q[2k]＜(p[2k+1]+p[2k])/(q[2k+1]+q[2k])≦p[2k+2]/q[2k+2]＜α＜p[2k+1]/q[2k+1]
    を満たすので
    （後略）

    追記：
    (p[2k+1]+p[2k])/(q[2k+1]+q[2k])≦p[2k+2]/q[2k+2]
    において等号が成り立つ場合があります（例：α=(1+√5)/2）。
    しかし、その場合も、適当にkを選べば、結論に影響は与えません。
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■46626 / inTopicNo.9) 　Re[8]: 有理数の性質
□投稿者/ 27 一般人(5回)-(2015/01/02(Fri) 19:25:57)
    有難うございました。
    連分数を使うとは思いもよりませんでした。
    ありがとうございました。
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