数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 必要十分 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ5 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■46571 / inTopicNo.1)

　必要十分

▼■

□投稿者/ びんたろう一般人(1回)-(2014/12/24(Wed) 16:27:26)

a,b,cが実数のとき、次の必要十分を教えて下さい。
|a+b|+|b+c|+|c+a|≦2 ⇔ max{|a|,|b|,|c|,|a+b+c|}≦1

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■46573 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 必要十分

▲▼■

□投稿者/ らすかるベテラン(217回)-(2014/12/24(Wed) 16:52:41)

以下のように細かく場合分けして示してはいかがでしょうか。
0≦a≦b≦cの場合
a＜0≦b≦c かつ -a≦b≦c の場合
a＜0≦b≦c かつ b＜-a≦c の場合
a＜0≦b≦c かつ b≦c＜-a の場合
a≦b＜0≦c かつ a≦b≦-c の場合
a≦b＜0≦c かつ a≦-c＜b の場合
a≦b＜0≦c かつ -c＜a≦b の場合
a≦b≦c＜0の場合

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■46574 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 必要十分

▲▼■

□投稿者/ びんたろう一般人(2回)-(2014/12/24(Wed) 17:55:23)

細かく場合分けせずに解く方法はないでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■46576 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 必要十分

▲▼■

□投稿者/ らすかるベテラン(218回)-(2014/12/24(Wed) 20:46:23)

a,b,cの符号を全部反転しても成り立ちますので、
上記の場合分けは
0≦a≦b≦cの場合
a＜0≦b≦c かつ -a≦b≦c の場合
a＜0≦b≦c かつ b＜-a≦c の場合
a＜0≦b≦c かつ b≦c＜-a の場合
の4つで十分でした。
他の方法にするとしても、いくつかに場合分けする必要は生じると思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■46577 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 必要十分

▲▼■

□投稿者/ WIZ 一般人(5回)-(2014/12/25(Thu) 00:06:06)

任意の実数x, yについて、三角不等式|x+y| ≦ |x|+|y|が成立します。
上記を認めるなら、題意は場合分けせずに示せます。
# 但し、三角不等式の証明はx, yの符号や大小関係で場合分けが必要だと思います。

三角不等式より、
|a+b|+|b+c|+|c+a| = |a+b|+|-(b+c)|+|c+a| ≦ 2
⇒ |(a+b)+(-(b+c))+(c+a)| ≦ 2
⇒ |2a| ≦ 2
⇒ |a| ≦ 1

|b| ≦ 1, |c| ≦ 1も同様に示せます。

また、
|a+b|+|b+c|+|c+a| ≦ 2
⇒ |(a+b)+(b+c)+(c+a)| = |2(a+b+c)| ≦ 2
⇒ |a+b+c| ≦ 1

以上から、|a|, |b|, |c|, |a+b+c|は何れも1以下の非負実数です。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■46578 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 必要十分

▲▼■

□投稿者/ らすかるベテラン(219回)-(2014/12/25(Thu) 01:16:38)

「⇔」なので逆方向も示す必要がありますが・・・

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■46579 / inTopicNo.7)

　Re[1]: 必要十分

▲▼■

□投稿者/ WIZ 一般人(6回)-(2014/12/25(Thu) 20:44:46)

「|a+b|+|b+c|+|c+a| ≦ 2」と「max{|a|,|b|,|c|,|a+b+c|}≦1」という条件があって、
私が示したのは「前者ならば後者」あるいは「前者は後者の十分条件、後者は前者の必要条件」
ということだけでしたね。

場合分けしなくて良い証明方法が無いか模索したのですが、思い付きませんでしたので、
以下の場合に分けて説明します。

(1)a+b ≧ 0, b+c ≧ 0, c+a ≧ 0の場合
a+b+c ≧ 0となりますので、
|a+b|+|b+c|+|c+a| = (a+b)+(b+c)+(c+a) = 2(a+b+c) = 2|a+b+c| ≦ 2

(2)a+b ≧ 0, b+c < 0, c+a ≧ 0の場合
b+c < 0より、b < 0またはc < 0となります。
b < 0の場合、a+b ≧ 0より、a > 0となります。
c < 0の場合、c+a ≧ 0より、a > 0となります。
よって、いずれにしてもa > 0と言えます。
|a+b|+|b+c|+|c+a| = (a+b)-(b+c)+(c+a) = 2a = 2|a| ≦ 2

a+b < 0, b+c ≧ 0, c+a ≧ 0の場合や、a+b ≧ 0, b+c ≧ 0, c+a < 0の場合も同様に示せます。

(3)a+b < 0, b+c ≧ 0, c+a < 0の場合
b+c ≧ 0より、b ≧ 0またはc ≧ 0となります。
b ≧ 0の場合、a+b < 0より、a < 0となります。
c ≧ 0の場合、c+a < 0より、a < 0となります。
よって、いずれにしてもa < 0と言えます。
|a+b|+|b+c|+|c+a| = -(a+b)+(b+c)-(c+a) = 2(-a) = 2|a| ≦ 2

a+b ≧ 0, b+c < 0, c+a < 0の場合や、a+b < 0, b+c < 0, c+a ≧ 0の場合も同様に示せます。

(4)a+b < 0, b+c < 0, c+a < 0の場合
a+b+c < 0となりますので、
|a+b|+|b+c|+|c+a| = -(a+b)-(b+c)-(c+a) = 2{-(a+b+c)} = 2|a+b+c| ≦ 2

以上から、前者と後者は必要十分条件同士ということなります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■46581 / inTopicNo.8)

　Re[2]: 必要十分

▲▼■

□投稿者/ びんたろう一般人(3回)-(2014/12/26(Fri) 23:13:23)

ありがとうございました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■46582 / inTopicNo.9)

　Re[3]: 必要十分

▲▼■

□投稿者/ びんたろう一般人(4回)-(2014/12/27(Sat) 10:15:04)

ふと思ったのですが、
max{x,y}=(x+y)/2+|x-y|/2
を使って場合分けせずに反対方向を導くことはできませんでしょうか？
(自分でも考えたのですが…よくわからない)

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■46619 / inTopicNo.10)

　Re[4]: 必要十分

▲▼■

□投稿者/ ひよこ一般人(2回)-(2015/01/01(Thu) 23:00:18)

|x+y|=max{x+y,x-y},
max{w,x,y,z}+ max{a,b}=max{w+a,x+a,y+a,z+a,w+b,x+b,y+b,z+b}
などといった変形を使うと、
|a+b|+|b+c|+|c+a|=2 max{a+b+c,-a-b-c,a,-a,b,-b,c,-c}
のように変形出来、
max{a,b,c,d}=max{max{a,b},max{c,d}}
などを使えば、結局、
|a+b|+|b+c|+|c+a|=2 max{|a+b+c|,|a|,|b|,|c|}
となる。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■46620 / inTopicNo.11)

　Re[5]: 必要十分

▲▼■

□投稿者/ びんたろう一般人(1回)-(2015/01/01(Thu) 23:21:17)

> |x+y|=max{x+y,x-y}
|x+y|=max{x+y,-x-y} ですよね？

|a+b|+|b+c|+|c+a|
=max{a+b,-(a+b)}+max{b+c,-(b+c)}+max{c+a,-(c+a)}
=max{a+2b+c,a-c,-a+c,-a-2b-c}+max{c+a,-(c+a)}
=max{2a+2b+2c,2a,2c,-2b,2b,-2c,-2a,-2a-2b-2c}
=max{max{2(a+b+c),-2(a+b+c)},max{2a,-2a},max{2b,-2b},max{2c,-2c}}
=2max{|a+b+c|,|a|,|b|,|c|}

なるほど！！
ありがとうございました！

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター