 | zが絶対値1の複素数全体をUとし、z ∈ Uでf(z) = z^2-z+1, x = Re(f(z)), y = Im(f(z))とおいて、
xy座標で点(x, y)の軌跡を「曲線f(U)」と称しているものと解釈して回答します。
tを実数、iを虚数単位として、z = cos(t)+i*sin(t)とおけます。
x+iy = {cos(t)+i*sin(t)}^2-{cos(t)+i*sin(t)}+1 = {(cos(t)^2)-(sin(t)^2)-cos(t)+1}+i{2cos(t)sin(t)-sin(t)}
より、媒介変数表示すれば
x = (cos(t)^2)-(sin(t)^2)-cos(t)+1 = cos(t){2cos(t)-1}・・・・・(1)
y = 2cos(t)sin(t)-sin(t) = sin(t){2cos(t)-1}・・・・・(2)
となります。
曲線の形をWolfram Alphaで見てみると、カージオイドもどき(?)のようですね。
カージオイドがaを正の実数の定数として、x = a*cos(t){cos(t)+1}, y = a*sin(t){cos(t)+1}と媒介変数表示されるので、
これからも似通っていると想像できます(!)
(1)(2)より、
(x^2)+(y^2) = {(cos(t)^2)+(sin(t)^2)}{(2cos(t)-1)^2} = (2cos(t)-1)^2 = 4(cos(t)^2)-4cos(t)+1・・・・・(3)
(1)より、
2x = 4(cos(t)^2)-2cos(t)・・・・・(4)
(4)を(3)に代入すると、
(x^2)+(y^2) = 2x-2cos(t)+1
⇒ cos(t) = {1+2x-(x^2)-(y^2)}/2・・・・・(5)
(5)を(1)に代入すると、
x = (1/2){1+2x-(x^2)-(y^2)}{{1+2x-(x^2)-(y^2)}-1}
上記を整理して、yについて解くのは骨が折れますのWolfram Alphaを使うと、
-1/8 ≦ x ≦ 1でy = ±√{1+4x-2(x^2)-√(1+8x)}/(√2)
-1/8 ≦ x ≦ 3でy = ±√{1+4x-2(x^2)+√(1+8x)}/(√2)
となるようです。
次にAbs(f(z)) = |f(z)|の最大値と最小値を求めます。
(3)より、
|f(z)| = |x+iy| = √{(x^2)+(y^2)} = √{(2cos(t)-1)^2} = |2cos(t)-1|
上記より最小値はcos(t) = 1/2のときの|2cos(t)-1| = 0で、
最大値はcos(t) = -1のときの|2cos(t)-1| = 3となります。
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