 | m=nのとき自明。
m＜nのとき
ma[1]≦Σ[k=1〜m]a[k]≦ma[m] から a[1]≦(1/m)Σ[k=1〜m]a[k]≦a[m]
(n-m)a[m+1]≦Σ[k=m+1〜n]a[k]≦(n-m)a[n] から a[m+1]≦{1/(n-m)}Σ[k=m+1〜n]a[k]≦a[n]
よって
(1/m)Σ[k=1〜m]a[k]≦{1/(n-m)}Σ[k=m+1〜n]a[k]
なので
(1/n)Σ[k=1〜n]a[k]
=(1/n){Σ[k=1〜m]a[k]+Σ[k=m+1〜n]a[k]}
=(1/n){m・(1/m)Σ[k=1〜m]a[k]+(n-m)・{1/(n-m)}Σ[k=m+1〜n]a[k]}
≧(1/n){m・(1/m)Σ[k=1〜m]a[k]+(n-m)・(1/m)Σ[k=1〜m]a[k]}
=(1/n){n・(1/m)Σ[k=1〜m]a[k]}
=(1/m)Σ[k=1〜m]a[k]
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