 | グラフでは難しい気がします。
二次方程式の「異なる2解」は他の条件から自動的に「異なる2実数解」になりますが、
三次方程式の「異なる3解」は1実数解と2虚数解でも良いものと解釈します。
共通正実数解をtとおくと
t^2+at+b=0 … (1)
t^3+bt+a=0 … (2)
(1)+(2)から (t^2+a+b)(t+1)=0
t＞0からt+1≠0なので t^2+a+b=0
t^2=-a-bを(1)に代入して整理すると a(t-1)=0
∴a=0またはt=1
a=0の場合、2方程式は x^2+b=0, x(x^2+b)=0 となる。
このとき、x^2+b=0が正の実数解を持つことからb＜0だが、
b＜0のとき両者ともt=±√(-b)という共通2実数解を持つので不適。
t=1のとき、a+b+1=0すなわちb=-a-1
b=-a-1のとき、2方程式は (x-1)(x-a)=0, (x-1)(x^2+x-a)=0 となる。
(x-1)(x-a)=0が異なる2解を持つことから a≠1
(x-1)(x^2+x-a)=0が異なる3解を持つことから
x^2+x-a=0はx=1を解に持たず、x^2+x-aは重解を持たない、すなわち
1+1-a≠0かつ1+4a≠0なのでa≠2かつa≠-1/4
また、共通な実数解がx=1だけであることから、前者の他解x=aを
x^2+x-aに代入しても0にならない、すなわちa^2+a-a≠0からa≠0
従って求める条件は
a≠-1/4,a≠0,a≠1,a≠2 かつ a+b+1=0
|