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■46494 / inTopicNo.1) 　凹関数の性質を利用した相加相乗平均の証明
  ▼■
□投稿者/ n 一般人(1回)-(2014/11/14(Fri) 22:34:32)
    a,bを異なる実数とし、f(x)が区間a,bで凹関数であるとする、このとき、λ1+λ2=1とすると
    λ1f(a)+λ2f(b)≦f(λ1a+λ2b)
    を示せ

    また、f(x)=logxに対して上の結果を用いることによって、a,b,c>0にたいして、
    (abc)^1/3≦(a+b+c)/3を示せ

    上はできたのですが、下がさっぱりです…




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■46496 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 凹関数の性質を利用した相加相乗平均の証明
□投稿者/ 黄桃 一般人(1回)-(2014/11/15(Sat) 22:16:12)
    a<b<c とし、f(x)が [a,c]で凸であるとすると上の結果より
    f((1/3)a+(1/3)b+(1/3)c)
    ＝f((1/3)a+(2/3)((1/2)b+(1/2)c))
    ≧(1/3)f(a)+(2/3)f((1/2)b+(1/2)c)
    ≧(1/3)f(a)+(2/3){(1/2)f(b)+(1/2)f(c)}
    ＝(1/3)f(a)+(1/3)f(b)+(1/3)f(c)
    なので、

    f(x)=log(x)とすれば、0<a<b<c の時
    log((1/3)(a+b+c))≧(1/3)(log(a)+log(b)+log(c))=log((abc)^(1/3))
    となる。
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■46498 / inTopicNo.3) 　Re[1]: 凹関数の性質を利用した相加相乗平均の証明
□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2014/11/16(Sun) 07:49:51)
    上の問題文つまり上の結果は「a,bを異なる実数とし・・・」なので、
    下の問題でa, b, cに同じ値のものが含まれるは場合は別証が必要ですね。
    或いは上の結果にa = bの場合の追加証明するかですね。

    いずれにしても上記の別証や追加証明は容易なので重箱の隅的な指摘ですけど。
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■46499 / inTopicNo.4) 　Re[2]: 凹関数の性質を利用した相加相乗平均の証明
□投稿者/ n 一般人(3回)-(2014/11/16(Sun) 17:05:46)
    上から二段目の式変形を見て、文字通りああ！なるほど！となりました！ありがとうございました！
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