 | 円の半径をr、切り取って残る角度をθとすると
円錐の母線の長さはr、底面の半径はrθ/(2π)なので
円錐の高さは
√{r^2-{rθ/(2π)}^2}=r√{(2π)^2-θ^2}/(2π)
よって体積は
π{rθ/(2π)}^2・{r√{(2π)^2-θ^2}/(2π)}/3
=r^3・θ^2・√{(2π)^2-θ^2}/(24π^2)
f(θ)=θ^2・√{(2π)^2-θ^2} とすると
f'(θ)=2θ(8π^2-3θ^2)/{2√{(2π)^2-θ^2}} なので
3θ^2=8π^2 すなわち θ=(2√6/3)π のとき最大となる。
よって体積が最大になる角度は
残す角度ならば (2√6/3)π、
切り取る角度ならば (2/3)(3-√6)π
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