 | [a , b]において , fが連続かつf(x)>0の場合
x軸とf(x)で囲まれる面積SはS=∫a→b f(x)dx
で与えられますが、これは[a, b]におけるf(x)の最大値をＭ , 最小値m
とおくことで
m⊿x≦⊿S≦M⊿xとなり lim⊿→0 ⊿S/⊿x=f(x)
つまりS'(x)=∫f(x)が得られます。
これと同じように弧長の長さの公式
Ｌ=∫a→b√(1+(f'(x))^2)
を「はさみうちの原理」を用いて証明する際、
√((dx)^2+(dy)^2) ≦⊿L
はわかる（二点の最短距離はその二点を結んだ線分の長さ）のですが
⊿L≦ ？？
となり、上から抑える式が分からず困っています。
いろいろなサイトでも調べてみましたが
⊿L≒√((dx)^2+(dy)^2) とか
⊿Lは近似的に√((dx)^2+(dy)^2)とみなせる
とか書いてはいますが、厳密な議論はできないかと考えています。
もし、お分かりの方がいましたら、ご教授願います。
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