 | ベン図を描いて
Aだけ→a, Bだけ→b, Cだけ→c
AとBだけ→d, BとCだけ→e, CとAだけ→f
AとBとC→g
とすれば
P(A)=a+d+f+g … (1)
P(B)=b+d+e+g … (2)
P(C)=c+e+f+g … (3)
P(A∩B)=d+g … (4)
P(A∩C)=f+g … (5)
P(B∩C)=e+g … (6)
P(A∩B∩C)=g … (7)
(1)+(2)+(3)から
P(A)+P(B)+P(C)=P+2d+2e+2f+3g … (8)
(4)+(5)+(6)から
P(A∩B)+P(A∩C)+P(B∩C)=d+e+f+3g … (9)
(8)-(9)×2から
P(A)+P(B)+P(C)-2{P(A∩B)+P(A∩C)+P(B∩C)}=P-3g
∴P=P(A)+P(B)+P(C)-2{P(A∩B)+P(A∩C)+P(B∩C)}+3g
=P(A)+P(B)+P(C)-2{P(A∩B)+P(A∩C)+P(B∩C)}+3P(A∩B∩C)
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