数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 近似式と近似値 / Page: 0]

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■46390 / inTopicNo.1)

　近似式と近似値

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□投稿者/ さんさん一般人(8回)-(2014/07/27(Sun) 13:34:41)

近似式・近似値の問題で f(x)=(1+x)^1/4 の近似式を求めよ、また80^1/4 の近似値を求めよ。
√80 の近似値をどの様に求めればいいのかわかりません。
求めた近似式をつかうことは分かるのですが、、

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■46391 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 近似式と近似値

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□投稿者/ らすかるファミリー(181回)-(2014/07/27(Sun) 16:23:56)

f(x)=(1+x)^1/4 と書くと
f(x)={(1+x)^1}/4 という意味になります。
f(x)=(1+x)^(1/4) と書きましょう。
80^1/4も同様です。

(1+x)^(1/4)の一次近似は 1+x/4なので
80^(1/4)={81(80/81)}^(1/4)
=3(80/81)^(1/4)=3(1-1/81)^(1/4)
=3{1-(1/81)/4}
=323/108
≒2.99074

これと別に√80の近似値も求めるのですか？

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■46393 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 近似式と近似値

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□投稿者/ さんさん一般人(9回)-(2014/07/28(Mon) 11:23:17)

80^(1/4)を√80と間違えていました、すみません。
この解き方は与えられたf(x)から求めた近似式を使って80^(1/4)の近似値を求めるなら、
x=79ではだめなのでしょうか？

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■46399 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 近似式と近似値

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□投稿者/ らすかるファミリー(187回)-(2014/07/28(Mon) 18:48:03)

(1+x)^(1/4)の近似式 1+x/4 というのは、
(1+x)^(1/4) = 1+(1/4)x-(3/32)x^2+(7/128)x^3-(77/2048)x^4+…
の第3項以降を省略した形です。
なぜ省略して良いかというと、|x|が十分小さい値であれば、
xの項の値に対してx^2以降の項の値は無視できるほど小さくなるためです。
つまり、1+x/4という近似式は
「|x|が十分小さいとき、(1+x)^(1/4)≒1+(1/4)xである」
というものであって、x=79では近似になりませんので式の変形が必要です。
実際、x=79にしてしまうと
(1+79)^(1/4)≒1+79/4=83/4=20.75
という真値とかけ離れた全く意味のない値になってしまいますね。

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■46400 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 近似式と近似値

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□投稿者/ konn 一般人(9回)-(2014/07/28(Mon) 20:46:13)

確かにx=79では|x|は十分に小さいとは言えないですね。
大変参考になりました。
ちなみに、3(1-1/81)^(1/4)でx=-1/81　を近似式に代入すればいいのでしょうか？
また、81^(1/4)≒3{1-(1/81)/4}　で右辺で全体に3が掛けられていますがなぜでしょうか？

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■46401 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 近似式と近似値

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□投稿者/ らすかるファミリー(188回)-(2014/07/28(Mon) 23:08:09)

> 3(1-1/81)^(1/4)でx=-1/81　を近似式に代入すればいいのでしょうか？
これはその通りです。

> 右辺で全体に3が掛けられていますがなぜでしょうか？
3を掛けたのではなく、
{81(80/81)}^(1/4)の81を(1/4)乗の{　}の外に出したのです。つまり
{81(80/81)}^(1/4)=(81)^(1/4)・(80/81)^(1/4)=3・(80/81)^(1/4)
=3・(1-1/81)^(1/4)=3・{1-(1/81)/4}
ということです。

# 名前が違いますが、同じ方ですか？
# 同じ方ならば、名前は変えない方がいいと思います。

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