数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: 関数の極限 / Page: 0]

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■46376 / inTopicNo.1)

　関数の極限

□投稿者/ konn 一般人(1回)-(2014/07/25(Fri) 18:43:16)

f'(x)=|tan^2x+1|(-π/2<x<π/2) この関数がx=±π/4で微分可能であることを証明したいのですが,どうすればいいか分かりません。
公式のlim[h→±0]{f(a+h)-f(a)}/h-a を使っても不定形になって、どう工夫しても解けません（泣）

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■46377 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 関数の極限

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□投稿者/ らすかるファミリー(176回)-(2014/07/25(Fri) 19:34:04)

(tanx)^2+1＞0なので
|(tanx)^2+1|の|　|は無意味になっていますが、
(tanx)^2+1がx=±π/4で微分可能であることを示すということですか？

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■46378 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 関数の極限

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□投稿者/ konn 一般人(3回)-(2014/07/25(Fri) 20:06:47)

すみません、絶対値の中は、tan^2x+1　ではなくtan^2-1 でした。
申し訳ありません＞＜
もとの問題が、
f'(x)=|tan^2x+1|(-π/2<x<π/2)　f(0)=0　がそれぞれ与えられているとき、f(x)を求めよ。で、f'(x)=|tan^2x+1|(-π/2<x<π/2)が問題文に書かれているので、f(x)がx=±π/4で微分可能であることは明白なのですが、本当にf(x)がx=±π/4が微分可能なのか計算して求めたいのです。

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■46379 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 関数の極限

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□投稿者/ らすかるファミリー(177回)-(2014/07/25(Fri) 20:45:08)

> すみません、絶対値の中は、tan^2x+1　ではなくtan^2-1 でした。
tan^2-1 というのは (tan(-1))^2 ですか？？？

> 本当にf(x)がx=±π/4が微分可能なのか計算して求めたいのです。
でしたら、f'(x)の式ではなくf(x)の式を書いて下さい。

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■46380 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 関数の極限

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□投稿者/ konn 一般人(5回)-(2014/07/25(Fri) 20:57:28)

またまたすみません、少しボーっとしていました。
tan^2-1ではなく　(tanx)^2-1です。何度も申し訳ありません。
(C,Dは積分定数とする)
-π/4>x>-π/2,π/4<x<π/2 である時、∫f'(x)=tan^2x-1=f(x)=tanx-2x+C
-π/4<x<π/4 である時、∫f'(x)=-tan^2x+1|=f(x)=2x-tanx+D
です。

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■46381 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 関数の極限

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□投稿者/ らすかるファミリー(178回)-(2014/07/25(Fri) 21:02:49)

g(x)=tanx-2x+Cとすると
g'(x)=1/(cosx)^2-2なので
g'(±π/4)=0
h(x)=2x-tanx+Dとすると
h'(x)=2-1/(cosx)^2なので
h'(±π/4)=0
よって左右の微分係数が一致しますので、微分可能です。

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■46382 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 関数の極限

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□投稿者/ konn 一般人(7回)-(2014/07/25(Fri) 21:17:35)

lim[h→±0]{f(h+a)-f(a)}/(h-a)はf'(x)であるこを忘れていました。
ありがとうございました＞＜
ちなみに、lim[h→±0]{f(h+a)-f(a)}/(h-a)　こちらの式ではどのように解を導けるでしょうか？何度もすみません

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■46384 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 関数の極限

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□投稿者/ らすかるファミリー(180回)-(2014/07/25(Fri) 21:26:27)

lim[h→±0]{f(h+a)-f(a)}/(h-a) ではなく
lim[h→±0]{f(a+h)-f(a)}/h ですね。

lim[h→0]{tan(x+h)-tan(x)}/h
=lim[h→0]{(tanx+tanh)/(1-tanxtanh)-tan(x)}/h
=lim[h→0]{tanx+tanh-tanx+(tanx)^2tanh}/{h(1-tanxtanh)}
=lim[h→0]{tanh+(tanx)^2tanh}/{h(1-tanxtanh)}
=lim[h→0](tanh/h){1+(tanx)^2}/(1-tanxtanh)
=lim[h→0](sinh/h)(1/cosh){1+(tanx)^2}/(1-tanxtanh)
=1+(tanx)^2
=1/(cosx)^2

lim[h→0]{2(x+h)-2(x)}/h
=lim[h→0]2h/h
=2

に代入すれば導けます。
微分公式を導くのと変わりませんので
わざわざこんな計算をすることもないと思います。

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■46386 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 関数の極限

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□投稿者/ konn 一般人(8回)-(2014/07/26(Sat) 10:23:40)

ありがとうございました！

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