数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 漸化式 / Page: 0]

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■46351 / inTopicNo.1)

　漸化式

▼■

□投稿者/ むぎ一般人(1回)-(2014/07/17(Thu) 20:03:28)

a[1]=a[2]=1
a[n+2]=7a[n+1]-a[n]-2
のとき、a[n]は平方数であることを示せ。

お願いします。数学的帰納法では無理でした。

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■46352 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 漸化式

▲▼■

□投稿者/ みずき付き人(55回)-(2014/07/17(Thu) 21:10:51)

まず、次を示します。

補題１：n≧1に対して、6a[n+1]≧a[n]+2 かつ a[n+1]≧1

（補題１の証明）
nに関する数学的帰納法により示します。
n=1のときは、確かに成立。
n(≧1)のとき、成立すると仮定すると、
a[n+2]=7a[n+1]-a[n]-2≧a[n+1]≧1
さらに、6a[n+2]≧6a[n+1]=a[n+1]+5a[n+1]≧a[n+1]+5≧a[n+1]+2
よって、n+1のときも成立するので、補題１が示されました。
（補題１の証明終了）

補題２：n≧2に対して、(a[n])^2+(a[n-1])^2-7a[n]a[n-1]+2a[n]+2a[n-1]+1=0

（補題２の証明）
nに関する数学的帰納法により示します。
n=2のとき、確かに成立。
n(≧2)のとき、成立すると仮定すると、
(a[n+1])^2+(a[n])^2-7a[n+1]a[n]+2a[n+1]+2a[n]+1
=(7a[n]-a[n-1]-2)^2+(a[n])^2-7(7a[n]-a[n-1]-2)a[n]+2(7a[n]-a[n-1]-2)+2a[n]+1
=49(a[n])^2+(a[n-1])^2+4-14a[n]a[n-1]-28a[n]+4a[n-1]+(a[n])^2-49(a[n])^2+7a[n-1]a[n]+14a[n]+14a[n]-2a[n-1]-4+2a[n]+1
=49(a[n])^2-14a[n]a[n-1]-28a[n]+4a[n-1]-49(a[n])^2+7a[n-1]a[n]+14a[n]+14a[n]-2a[n-1]+2a[n]+1+7a[n]a[n-1]-2a[n]-2a[n-1]-1
(∵ 仮定)
=0
よって、n+1のときも成立するので、補題２が示されました。
（補題２の証明終了）

補題１，２により、n≧2において、
(a[n])^2+(a[n-1])^2-7a[n]a[n-1]+2a[n]+2a[n-1]+1=0
⇔(a[n]+a[n-1]+1)^2=9a[n]a[n-1]
⇔a[n]+a[n-1]+1=3√{a[n]a[n-1]}　（∵ 補題１よりn≧1でa[n]≧1）
⇔√{a[n]a[n-1]}=(a[n]+a[n-1]+1)/3　・・・★
が成立しています。

さて、★を用いて次を示します。

命題：n≧1に対して、a[n]=(b[n])^2
（ただし、b[1]=b[2]=1,b[n]=3b[n-1]-b[n-2]）

（命題の証明）
n=1のとき、確かに成立。
n=2のとき、確かに成立。
n(≧2)のとき、成立すると仮定すると、
(b[n+1])^2
=(3b[n]-b[n-1])^2
=9(b[n])^2+(b[n-1])^2-6b[n]b[n-1]
=9a[n]+a[n-1]-6√{a[n]a[n-1]}
=9a[n]+a[n-1]-6(a[n]+a[n-1]+1)/3 （∵ ★）
=9a[n]+a[n-1]-2a[n]-2a[n-1]-2
=7a[n]-a[n-1]-2
=a[n+1]
よって、n+1のときも成立するので、命題が示されました。
（命題の証明終了）

任意の自然数nに対して、b[n]が整数であることは明らかなので、
命題により、任意の自然数nに対して、a[n]は平方数です。

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■46353 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 漸化式

▲▼■

□投稿者/ らすかるファミリー(172回)-(2014/07/17(Thu) 22:36:39)

別解です。

b[1]=b[2]=1
b[n+2]=3b[n+1]-b[n]
とおくと{b[n]}は整数列です。次に
f(k)=2(b[k+1])^2-6b[k+1]b[k]+2(b[k])^2+2 とおくと
f(1)=2(b[2])^2-6b[2]b[1]+2(b[1])^2+2=0 です。
n=kのときに
f(n)=2(b[k+1])^2-6b[k+1]b[k]+2(b[k])^2+2=0 が成り立つとすると
n=k+1のとき
f(n)=2(b[k+2])^2-6b[k+2]b[k+1]+2(b[k+1])^2+2
=2(3b[k+1]-b[k])^2-6(3b[k+1]-b[k])b[k+1]+2(b[k+1])^2+2
=2(b[k+1])^2-6b[k+1]b[k]+2(b[k])^2+2
=0
ですから、任意のnに対してf(n)=0が成り立ちます。
そして
a[1]=(b[1])^2
a[2]=(b[2])^2
が成り立っていて、
n=k,k+1でa[n]=(b[n])^2が成り立つとすると、n=k+2のとき
a[n]=a[k+2]=7a[k+1]-a[k]-2
=7(b[k+1])^2-(b[k])^2-2
=(3b[k+1]-b[k])^2-{2(b[k+1])^2-6b[k+1]b[k]+2(b[k])^2+2}
=(3b[k+1]-b[k])^2-f(k)
=(3b[k+1]-b[k])^2
=(b[k+2])^2
=(b[n])^2
が成り立ち、b[n]は整数ですからa[n]は平方数となります。

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■46354 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 漸化式

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□投稿者/ むぎ一般人(2回)-(2014/07/17(Thu) 23:30:41)

ありがとうございます！
とてもよく分りました。

解決済み!

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■46356 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 漸化式

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□投稿者/ 直球一般人(1回)-(2014/07/19(Sat) 00:58:27)

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■46354 / ResNo.3) 　Re[2]: 漸化式

□投稿者/ むぎ一般人(2回)-(2014/07/17(Thu) 23:30:41)

ありがとうございます！
　とてもよく分りました

---------- との　ことですが...---------------------

世界で一番易しい　線型差分方程式　の　範疇なので　＝＝＝　解いてしまうと　＝＝＝＝;

-((-14 - 6 Sqrt[5] - 123 (7/2 - (3 Sqrt[5])/2)^n -
55 Sqrt[5] (7/2 - (3 Sqrt[5])/2)^n - 3 (7/2 + (3 Sqrt[5])/2)^n +
Sqrt[5] (7/2 + (3 Sqrt[5])/2)^n)/(5 (7 + 3 Sqrt[5])))

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　で　

Table[-((-14 - 6 Sqrt[5] - 123 (7/2 - (3 Sqrt[5])/2)^n -
55 Sqrt[5] (7/2 - (3 Sqrt[5])/2)^n - 3 (7/2 + (3 Sqrt[5])/2)^n +
Sqrt[5] (7/2 + (3 Sqrt[5])/2)^n)/(5 (7 + 3 Sqrt[5]))), {n, 1,
19}] // Simplify
Sqrt[%]

を　為すと;

{1, 1, 4, 25, 169, 1156, 7921, 54289, 372100, 2550409, \
17480761, 119814916, 821223649, 5628750625, 38580030724, \
264431464441, 1812440220361, 12422650078084, 85146110326225}

{1, 1, 2, 5, 13, 34, 89, 233, 610, 1597, 4181, 10946, \
28657, 75025, 196418, 514229, 1346269, 3524578, 9227465}

　　　　　　　　　と信じるに値する　事例　数多。

---------------------------------------------------------------

　　　らすかる様　も　みずき　様　も

　質問者　（帰納法に　真摯に）　こたえられ　すぎ　と　思い. 投稿し

　　　　　蛇足　で　非礼を詫びます。

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