 | z=0のときは、確かに成立しますので、以下、z≠0とします。
z=x+iy(x,yは実数)とおくとき、
|e^z|=|e^x||cosy+isiny|=e^x に注意します。
|z|≦|ze^z|
⇔|z|≦|z||e^z|
⇔1≦|e^z| （∵ |z|＞0）
⇔1≦e^x
⇔x≧0
により、次の2つを示せば十分です。
x≧0のとき、|e^z-1|≦|ze^z| ・・・A
x＜0のとき、|e^z-1|≦|z| ・・・B
（Aについて）
|ze^z|^2-|e^z-1|^2
=(x^2+y^2)e^(2x)-{(e^xcosy-1)^2+(e^xsiny)^2}
=(x^2+y^2)e^(2x)-(e^(2x)-2e^xcosy+1)
=(x^2+y^2-1)e^(2x)+2e^xcosy-1=f(x)
f'(x)=2e^x{e^x(x+x^2+y^2-1)+cosy}
g(x)=e^x(x+x^2+y^2-1)+cosyとおくと、
g'(x)=e^x{y^2+x(x+3)}≧0 （∵ x≧0）
g(0)=y^2≧0なので、x≧0においてf'(x)≧0
f(0)=y^2-1+2cosy-1=h(y)とおくと、h'(y)=2y-2siny, h''(y)=2(1-cosy)≧0
h'(0)=0に注意すると、h(y)≧h(0)=0-1+2-1=0なので、f(0)≧0
以上により、任意のyに対して、x≧0のとき、f(x)≧0なので、Aが示されました。
（Bについて）
|z|^2-|e^z-1|^2
=x^2+y^2-(e^(2x)-2e^xcosy+1)=i(x)
i'(x)=2x-2e^(2x)+2cosye^x
i''(x)=2-4e^(2x)+2cosye^x
i'''(x)=-8e^(2x)+2cosye^x=2e^x(cosy-4e^x)
j(x)=cosy-4e^xとおくと、j'(x)=-4e^x＜0,
j(0)=cosy-4＜0,lim_(x→-∞)j(x)=cosyなので、cosyの正負で場合分けします。
（Ⅰ）cosy≦0のとき
グラフにより、x＜0でi'''(x)＜0なので、i''(x)は単調減少。
i''(0)= 2-4+2cosy=2(cosy-1)＜0, lim_(x→-∞) i''(x)=2なので、
i''(x)=0なるx＜0がただ1つ存在します。
それをx=αとすると、2cosye^α=4e^(2α)-2に注意して、
i'(α) =2α-2e^(2α)+2cosye^α=2α+2(e^(2α)-1)＜0 （∵ α＜0）
よって、x＜0でi'(x)＜0, i(0)= y^2-1+2cosy-1=h(y)≧0なので、x＜0でi(x)≧0
（Ⅱ）cosy＞0のとき
j(x)=0なるx＜0がただ1つ存在します。それをx=βとすると、
i''(0)=2-4+2cosy=2(cosy-1)≦0
i''(β)=2-4e^βe^β+2cosye^β=2+(cosy)^2/4＞0
lim_(x→-∞)i''(x)=2＞0
（Ⅱ－ⅰ）cosy=1のとき
i''(0)=0なので、i''(x)≧0
i'(0)=-2+2cosy=0なので、x＜0でi'(x)≦0
i(0)=y^2-1+2cosy-1=y^2≧0により、x＜0においてi(x)≧0です。
（Ⅱ－ⅱ）0＜cosy＜1のとき
i''(0)＜0なので、i''(x)=0なるx＜0がただ1つ存在します。
それをx=γとすると、2cosye^γ=-2+4e^(2γ)に注意して、
i'(γ)= 2γ-2e^(2γ)+2cosye^γ=2γ+2{e^(2γ)-1}＜0 (∵ γ＜0)
よって、x＜0において、i'(x)＜0です。
i(0)= y^2-1+2cosy-1=h(y)≧0なので、x＜0において、i(x)≧0
以上により、任意のyに対して、x＜0のとき、i(x)≧0なので、Bが示されました。
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