 | 数列{b[n]}を
b[1]=1
b[n+1]=b[n]2^p (1＜b[n]2^p＜2)
b[n+1]=b[n]2^p/2 (2≦b[n]2^p)
と定めると、これは{a[n]}から2以上の項を除いた数列になります。
そしてb[n]はある非負整数数列{c[n]}により
b[n]=2^{(n-1)p}/2^(c[n])
と表せます。いま、
p=q/r (q,rは自然数で1≦q＜r)
とすると、
b[r+1]=2^{(r+1-1)p}/2^(c[r+1])
=2^(rp)/2^(c[r+1])
=2^q/2^(c[r+1])
となりますが、1≦b[n]＜2ですから
b[r+1]=1です。
{a[n]}から2以上の項を除いた数列で初項以外に1が出現しますので、
a[n]でも1が出現します。
数列は前の項の値で決まりますので、1が出現した後はまた
a[2]以降と同じパターンになります。
従って{a[n]}は周期を持ちます。
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