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■46316 / inTopicNo.1)

　面積

□投稿者/ 7-1 一般人(1回)-(2014/07/10(Thu) 18:02:41)

次の曲線の囲む部分の面積を求めよ

x^2+2axy+y^2=1(-1<a<1)

解答はyについて解くとy[1]=-ax+√{(a^2-1)x^2+1},y[2]=-ax-√{(a^2-1)x^2+1}

{-1/√(1-a^2)<=x<=1/√(1-a^2)}　よって求める面積をSとすると

S=∫[{-1/√(1-a^2)→1/√(1-a^2)](y[1]-y[2])dx

=2∫[{-1/√(1-a^2)→√1/√(1-a^2)]{(a^2-1)x^2+1}dx

=4∫[0→√1/√(1-a^2)]{(a^2-1)x^2+1}dx

(√(1-a^2)x=sinθとおくと

dx=1/√(1-a^2)×cosθdθ　x;0→1/√（1-a^2),θ;0→π/2)

=4∫[0→π/2)]√(1-sin^2θ)}×cosθ/√(1-a^2)×dθ

=4/√(1-a^2)∫[0→π/2]cos^2θdθ

=π/√(1-a^2)となっていたのですが、面積を求めるのに

最初にyについて解いてそこから

S=∫[{-1/√(1-a^2)→1/√(1-a^2)](y[1]-y[2])dx
で求まるのが分かりません、グラフの形とか分からないのに何故ですか？

それとxの範囲が{-1/√(1-a^2)<=x<=1/√(1-a^2)}と求まるのが何故か分かりません

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■46317 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 面積

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□投稿者/ 7-1 一般人(2回)-(2014/07/10(Thu) 18:10:19)

それと別解で曲線上の点(x,y)を原点Oのまわりにπ/4回転した点を(X,Y)とすると

(x,y)={cos(-π/4),-sin(-π/4),sin(-π/4),cos(-π/4)}(X,Y)（cos(-π/4)とかは行列で左上、右上、左下、右下の順で書いてます)

=1/√2(X+Y,-X+Y)　よってOのまわりにπ/4回転した曲線の方程式は

1/2(X+Y)^2+2a×1/2(-X^2+Y^2)+1/2×(-X+Y)^2=1となってるんですがこの式がどこから出てきたのか分かりません

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■46335 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 面積

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□投稿者/ 7-1 一般人(3回)-(2014/07/13(Sun) 04:41:39)

解決しました

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