 | 簡単のため、
↑AB=v(b),↑AC=v(c),↑AD=v(d)と書くことにすると、
↑AB・↑BC =↑BC・↑CD =↑CD・↑DA =↑DA・↑AB
⇔v(b)・(v(c)-v(b))=(v(c)-v(b))・(v(d)-v(c))=(v(d)-v(c))・(-v(d))=-v(d)・v(b)
⇔v(b)・v(c)-|v(b)|^2=-v(d)・v(b)（・・・Ⅰ） かつ
v(c)・v(d)-|v(c)|^2+v(b)・v(c)=0 （・・・Ⅱ）かつ
-|v(d)|^2+v(c)・v(d)=-v(d)・v(b)（・・・Ⅲ）
まず、
|v(c)-v(b)|^2
=|v(c)|^2+|v(b)|^2-2v(c)・v(b)
=v(c)・v(d)+v(b)・v(c)+v(b)・v(c)+v(d)・v(b)-2v(c)・v(b)（∵ Ⅱ,Ⅰ）
=v(c)・v(d)+v(d)・v(b)
=|v(d)|^2（∵ Ⅲ）
∴ |v(c)-v(b)|=|v(d)| (・・・ Ⅳ）
また
|v(d)-v(c)|^2
=|v(d)|^2+|v(c)|^2-2v(d)・v(c)
=v(c)・v(d)+v(d)・v(b)+v(c)・v(d)+v(b)・v(c)-2v(d)・v(c)（∵ Ⅲ,Ⅱ）
=v(d)・v(b)+v(b)・v(c)
=|v(b)|^2（∵ Ⅰ）
∴ |v(d)-v(c)|=|v(b)|（・・・Ⅴ)
さらに、
v(b)・v(d)
=v(b)・v(c)-|v(b)|^2（∵ v(d)=v(c)-v(b)）
=-v(b)・v(d)（∵ Ⅰ）
∴ v(b)・v(d)=0（・・・Ⅵ）
以上Ⅳ,Ⅴ,Ⅵにより、四角形ABCDは長方形です。
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