 | x-y≧1であるとしても一般性を失いません。
簡単のため、x-y=aとおくと
|x-m||y-m|＜|x-y|/2
⇔ |(x-m)(y-m)|＜a/2
⇔ -a/2＜(x-m)(y-m)＜a/2
⇔ -a＜2xy-2mx-2my+2m^2＜a
⇔ 2m^2-2(x+y)m+2xy+a＞0 かつ 2m^2-2(x+y)m+2xy-a＜0 ・・・A
ここで、2m^2-2(x+y)m+2xy+a=0の判別式をDとすると、
D/4=(x+y)^2-2(2xy+a)=x^2-2xy+y^2-2a=a^2-2a
ここで、aの値によって場合分けをします。
1≦a＜2のとき、D＜0なので、
A⇔ 2m^2-2(x+y)m+2xy-a＜0
⇔ (x+y-√(a^2+2a))/2＜m＜(x+y+√(a^2+2a))/2
これを満たす整数mが存在することを示すには、
(x+y+√(a^2+2a))/2-(x+y-√(a^2+2a))/2＞1
が1≦a＜2を満たす任意のaに対して成立することを示せばよく、
(x+y+√(a^2+2a))/2-(x+y-√(a^2+2a))/2＞1
⇔ √(a^2+2a)＞1
⇔ a^2+2a＞1
⇔ a^2+2a-1＞0
⇔ a＜-1-√2 または a＞√2-1
よって、示されました。
a=2のとき、D=0なので、
A⇔ m≠(x+y)/2 かつ 2m^2-2(x+y)m+2xy-a＜0
⇔ m≠(x+y)/2 かつ (x+y-2√2)/2＜m＜(x+y+2√2)/2
⇔ (x+y)/2-√2＜m＜(x+y)/2 または (x+y)/2＜m＜(x+y)/2+√2
となりますが、(x+y)/2+√2-(x+y)/2=√2＞1なので、
これを満たす整数mは存在します。
a＞2のとき、D＞0なので、
A⇔ 「m＜(x+y-√(a^2-2a))/2 または m＞(x+y+√(a^2-2a))/2」かつ (x+y-√(a^2+2a))/2＜m＜(x+y+√(a^2+2a))/2
⇔ 「(x+y-√(a^2+2a))/2＜m＜(x+y-√(a^2-2a))/2」または「(x+y+√(a^2-2a))/2＜m＜(x+y+√(a^2+2a))/2」
これを満たす整数mが存在することを示すには、
(x+y+√(a^2+2a))/2-(x+y+√(a^2-2a))/2＞1
がa＞2を満たす任意のaに対して成立することを示せばよく、
(x+y+√(a^2+2a))/2-(x+y+√(a^2-2a))/2＞1
⇔ √(a^2+2a)＞2+√(a^2-2a)
⇔ a^2+2a＞4+a^2-2a+4√(a^2-2a)
⇔ √(a^2-2a)＜a-1
⇔ a^2-2a＜a^2-2a+1
よって、示されました。
以上により、題意は示されました。
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