 | 2014/07/11(Fri) 00:37:16 編集(投稿者)
a=b=cのときは、確かに成立。
以下では、a=b=cではない、とします。
a+b+c=s,ab+bc+ca=t,abc=u,s^2-3t=dとおくと、
a,b,cはf(x)=x^3-sx^2+tx-u=0 の3解なので、
f'(x)=0 ⇔ 3x^2-2sx+t=0 は異なる2つの実数解α＜βを持つことが必要で、
s^2-3t=d＞0 ・・・①
さらに、次が必要。
β＜1 ⇔ t＜2s-3 ・・・②
0＜t＜3 (①②と0＜s,tをst平面に図示すると分かる)・・・③
f(α)≧0 ⇔ u≦(3st+2d√d-2ds)/27 ・・・④
これらを使って示していきます。
3(a+b+c)/(a+b+c+3abc)＞1/(1+a)+1/(1+b)+1/(1+c)
⇔ (3s)/(s+3u)＞(3+2s+t)/(1+s+t+u)
⇔ 3s(1+s+t+u)-(3+2s+t)(s+3u)＞0
⇔ s^2+2st-(3s+3t+9)u＞0
であり、さらに、
9{s^2+2st-(3s+3t+9)u}
≧9[s^2+2st-(3s+3t+9)*{(3st+2d√d-2ds)/27}]（∵ ④）
=9s^2+18st-(s+t+3){3st+2d(√d-s)}
なので、
9s^2+18st-(s+t+3)(3st+2d√d-2ds)＞0
⇔ 2d(√d-s)＜(9s^2+18st)/(s+t+3)-3st
を示せばよく、
左辺=2d(d-s^2)/(√d+s)=2d(-3t)/(√d+s)＜0
右辺=3s(s+t)(3-t)/(s+t+3)＞0 （∵ ③）
なので、確かに成立。
よって、示すべき不等式が示されました。
|
