 | 関数f(x)がf(x)=x^3sin1/x+xsinx(x≠0),0(x=0)で与えられるとき
(1)f(x)はx=0で微分可能であることを示し、f'(0)を求めよ
(2)f(x)はx=0で極小値をもつことを示せ
解説はh≠0として|{f(h)-f(0)}/h|=|h^2sin1/h+sinh|<=|h^2||sin1/h|+|sinh|
<=h^2+|sinh|→0(h→0) よってf(x)はx=0で微分可能でf'(0)=0
(2)f(-h)=f(h)であるから,充分小さいh>0に対してf(h)>f(0)(=0)であることをしめせばよい
h>0でh≒0のとき,sinh/h≒1であるからsinh/h-h>0かつsin1/h>=-1
よってf(h)=h^3sin1/h+hsinh>=h^2(sinh/h-h)>0
よってf(x)はx=0で極小値f(0)(=0)をもつ
とあるのですがsin1/h>=-1が何で言えるのか分かりません
別解がありましてf(x)は偶感数であり0<h<2/π<π/2のとき右図より
h>sinh>2h/π>0 よってf(h)=h^3×sin1/h+hsinh>h^2×(hsin1/h+2/π)
>=h^2(-h+2/π)>0=f(0)よってf(0)は極小値とあるのですが
この説明は理解できるのですが,2/πと言う値がどこから出てきたのか分かりません 図も下に載せておきます
|
