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■46261 / inTopicNo.1)  極値の疑問
  
□投稿者/ 岩下島 一般人(1回)-(2014/07/08(Tue) 17:56:15)
    f(x)は微分可能な関数で、極小値をちょうど2つもつとします。
    このとき極小値の間に極大値はありますか?
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■46264 / inTopicNo.2)  Re[1]: 極値の疑問
□投稿者/ らすかる 軍団(147回)-(2014/07/08(Tue) 19:52:28)
    あるとは限りません。
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■46265 / inTopicNo.3)  Re[2]: 極値の疑問
□投稿者/ 岩下島 一般人(2回)-(2014/07/08(Tue) 20:15:10)
    やはりそうなんですか!
    うまく証明できなかったので…

    なにかそういった例をおしえていただけないでしょうか?
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■46266 / inTopicNo.4)  Re[3]: 極値の疑問
□投稿者/ らすかる 軍団(148回)-(2014/07/08(Tue) 20:35:06)
    例えば y=(x^4+1)/x^2
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■46267 / inTopicNo.5)  Re[4]: 極値の疑問
□投稿者/ 岩下島 一般人(3回)-(2014/07/08(Tue) 20:40:57)
    すみません、
    f(x)は全ての実数で定義されて
    全ての実数で微分可能なものの
    例をお願いできますか?
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■46268 / inTopicNo.6)  Re[5]: 極値の疑問
□投稿者/ らすかる 軍団(149回)-(2014/07/08(Tue) 20:48:03)
    それでしたら、間に必ず極大値があります。
    (微分可能である必要はなく、連続だけで十分だと思います。)
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■46269 / inTopicNo.7)  Re[6]: 極値の疑問
□投稿者/ 岩下島 一般人(4回)-(2014/07/08(Tue) 21:09:40)
    No46268に返信(らすかるさんの記事)
    > それでしたら、間に必ず極大値があります。
    > (微分可能である必要はなく、連続だけで十分だと思います。)

    たとえば、f(x)を
    f(x)=0 (|x|≦1, |x|≧3)
    f(x)=-x-3 (-3≦x≦-2)
    f(x)=x+1 (-2≦x≦-1)
    f(x)=-x+1 (1≦x≦2)
    f(x)=x-3 (2≦x≦3)
    と定めると、f(x)は連続関数だと思います。
    そしてx=-2, 2で極小値をとると思います。
    極大値ってどこになるんですか?
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■46270 / inTopicNo.8)  Re[7]: 極値の疑問
□投稿者/ らすかる ファミリー(150回)-(2014/07/08(Tue) 21:22:17)
    2014/07/08(Tue) 21:34:37 編集(投稿者)

    |x|≦1の範囲でとる0は極大値です。極大値をとるxの値は無数にあります。
    通常の定義ではa0の近傍に含まれるaで常にf(a0)≧f(a)ならば、f(a0)は極大値です。

    ただし、|x|<1(|x|≦1ではない)の範囲の0は極小値でもありますので、
    このグラフは極小値をとる点も無数にあります。
    最初の「極小値をちょうど二つ持つ」がこの言葉通りの意味ならば
    このグラフの極小値は0と-1ですが、「極小値をとる点がちょうど2点」ならば
    このグラフは条件に合っていないことになりますね。
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■46271 / inTopicNo.9)  Re[8]: 極値の疑問
□投稿者/ 岩下島 一般人(5回)-(2014/07/08(Tue) 21:34:41)
    2014/07/08(Tue) 21:36:36 編集(投稿者)

    ありがとうございます。
    自分の疑問が何なのか非常にクリアになってきました。

    f(x)は全ての実数で定義された、全ての実数で微分可能な関数で、狭義の極小値をちょうど2つもつ。
    (狭義の極値についてはhttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%80%A4をご覧ください。)
    このとき、この2つの狭義の極小値の間に、狭義の極大値は存在するか?

    ということです。教えて下さい。

    ________________________________
    編集後の文章拝読し、納得しました。
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■46272 / inTopicNo.10)  Re[9]: 極値の疑問
□投稿者/ らすかる ファミリー(151回)-(2014/07/08(Tue) 21:37:27)
    それならば存在するとは限らないですね。
    実例は上のグラフの角をちょっと滑らかにすればいいだけですから
    特にいらないですよね。
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■46274 / inTopicNo.11)  Re[10]: 極値の疑問
□投稿者/ 岩下島 一般人(6回)-(2014/07/08(Tue) 21:49:37)
    たしかにそうですね、ありがとうございます。
    もし条件を満たすもっと簡単に書ける(一つの数式で書けるような)
    関数がありましたら(いつでもいいので)教えて下さい。
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■46275 / inTopicNo.12)  Re[11]: 極値の疑問
□投稿者/ らすかる ファミリー(152回)-(2014/07/08(Tue) 22:40:45)
    2014/07/08(Tue) 22:54:00 編集(投稿者)

    とにかく一つの式で表せれば良いのなら、例えば
    f(x)=[{|x+6|+|x-6|+2(|x|-|x+3|-|x-3|)}/4](cosπx-1) ([ ]はガウス記号)
    とすれば条件を満たします。
    微分可能で極値がある関数は普通平らな部分がありませんので、
    あまり綺麗な式では作れない気がします。

    ガウス記号も絶対値も使わずにできる方法は思いつきませんが、
    例えば
    f(x)=[1-(x+4)(x+2)(x-2)(x-4)/(x^6+65)](cosπx-1) ([ ]はガウス記号)
    のように絶対値をなくすことはできます。
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■46276 / inTopicNo.13)  Re[12]: 極値の疑問
□投稿者/ 岩下島 一般人(7回)-(2014/07/09(Wed) 00:09:53)
    すごいです…。
    ありがとうございました!
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