 | y=logx/xの増減を調べると
0＜x＜1でy＜0
x=1でy=0
1＜x＜eで増加
x=eのとき最大値1/e
e＜xで減少
x→∞でy→0
だから、もし0＜a＜bでloga/a=logb/bとなる整数があるとすれば
1＜a＜eからa=2しかない。
b＞eだから、b=3から順にあてはめる。
b=3のときloga/a=logb/bは成り立たない。
b=4のときloga/a=logb/bは成り立つ。
よって0＜a＜bかつgでloga/a=logb/bを満たす整数は(2,4)のみ。
# ちなみに、「有理数限定」の場合は、一般解が
# (a,b)=((1+1/n)^n,(1+1/n)^(n+1)) （nは任意の自然数）
# =(2,4),(9/4,27/8),(64/27,256/81),(625/256,3125/1024),…
# のように求まります。
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