 | ちょっと長いですが、最大値が1であることが何とか示せました。
2^(-x)+2^(-1/x) はx=1のとき1となるが
これが最大値であることを示す。
x=1/tとおくと2^(-1/t)+2^(-t)となるので
0＜x≦1における最大値が1であることを示せば十分。
よって以下では0＜x＜1とする。
2^(-x)+2^(-1/x)＜1 を示すには
{1-2^(-x)}/2^(-1/x)＞1 を示せばよい。
f(x)={1-2^(-x)}/2^(-1/x)={1-2^(-x)}・2^(1/x) とおくと
f'(x)=log2・2^(1/x)・{(x^2+1)/2^x-1}/x^2
ここで(x^2+1)/2^x-1＜0であることを示す。
y=2^xの(0,1)における接線はy=(log2)x+1
(1,2)における接線はy=(2log2)(x-1)+2で
2接線の交点は(2-1/log2,2log2)なので
g(x)=
(log2)x+1 （0＜x＜2-1/log2）
(2log2(x-1)+2 （2-1/log2≦x＜1）
とおけば、y=2^xは下に凸なので2^x＞g(x)
また(2-1/log2)^2+1＜2log2なので(※1)
x=2-1/log2においてg(x)＞x^2+1であり、
y=x^2+1は下に凸なのでg(x)＞x^2+1
従って2^x＞x^2+1なので(x^2+1)/2^x-1＜0となりf'(x)＜0
よってf(x)は0＜x＜1でf'(x)＜0、f(1)=1なので
0＜x＜1でf(x)＞1ゆえに2^(-x)+2^(-1/x)＜1。
以上により2^(-x)+2^(-1/x)の最大値はx=1のとき1。
※1の証明
(2-1/log2)^2+1＜2log2を整理すると
(2log2-1)(1-log2)^2＞0 となり
2log2=log4＞loge=1からこの不等式は成り立つので
(2-1/log2)^2+1＜2log2は成り立つ。
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