 | 関数f(x)が連続な導関数をもち,条件f'(x)<-f(x)<0(-∞<x<∞)をみたす
とき,lim[x→∞]f(x),lim[x→-∞]を求めよ
解説は
与式よりf(x)>0であるから
f'(X)/f(x)<-1(-∞<x<∞)①
①の両辺を区間[0,t](t>0)で積分して∫[0→t]f'(x)/f(x)dx=
[log|f(x)|](0→t)=logf(t)/f(0)<-t
まずこのlogf(t)/f(0)<-t
が分かりません何故-tより小さくなるのかが
よってf(t)/f(0)<e^-t よって0<f(t)<f(0)e^(-t)
よってlim[x→∞]f(x)=0
このよってlim[x→∞]f(x)=0の所も0<f(t)<f(0)e^(-t)
から何故分かるのか分からないです、tしか入ってないのに
次に①の両辺を区間[t→0](t<0)で積分して
∫[t→0]f'(x)/f(x)dx=[log|f(x)|](t→0)=logf(0)/f(t)<[-x](t→0)
このlogf(0)/f(t)<[-x](t→0)も何故成り立つのか分かりません
[-x](t→0)より小さくなるのが分かりません
よってf(0)/f(t)<e^t よってf(0)e^(-t)<f(t)
よってlim[x→-∞]f(x)=∞
よってlim[x→-∞]f(x)=∞の所もf(0)e^(-t)<f(t)
から何故分かるのか分からないです、こちらもtしか入ってないです
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