 | （αが有理数のとき）
α=N+p/q (ただし、Nは整数、pは非負整数、qは自然数で、0≦p/q＜1)
となるような組(N,p,q)が存在します。
任意の自然数nは、n=qm+r (mは任意の非負整数、r=0,1,・・・,q-1)で表せるので、
任意のrに対して、
(nα-[nα])^n
={(qm+r)(N+p/q)-[(qm+r)(N+p/q)]}^(qm+r)
=(qmN+mp+rN+pr/q-[qmN+mp+rN+pr/q])^(qm+r)
=(pr/q-[pr/q])^(qm+r)
=(pr/q-[pr/q])^r*{(pr/q-[pr/q])^q}^m
→0 (∵ 0≦pr/q-[pr/q]＜1)
よって、lim_(n→∞)a[n]^n=0 です。
（αが無理数のとき）
まず、a[n]^n(n→∞)の下極限が0であることは明らかです。
αが無理数なので、αの連分数展開は無限に続き、
αのk次の近似分数をp[k]/q[k]とするとき、任意のkに対して、
|α-p[k]/q[k]|＜1/q[k]^2
kが奇数のときは、α＜p[k]/q[k]なので、奇数kに対して、
α＜p[k]/q[k]＜α+1/q[k]^2
∴ q[k]α＜p[k]＜q[k]α+1/q[k]⇔p[k]-1/q[k]＜q[k]α＜p[k]
∴ 1-1/q[k]＜q[k]α-[q[k]α]=a[q[k]]＜1
∴ a[q[k]]^q[k]＞(1-1/q[k])^q[k]→1/e （q[k]→∞）
よって、a[n]^n(n→∞)の上極限は1/e以上です。
以上により、a[n]^n(n→∞)の極限は存在しません。
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