 | 2014/07/04(Fri) 19:07:23 編集(投稿者)
簡単のため、↑BA=↑a,↑BC=↑c,∠ABC=θとすると、
|↑a-t↑c|≧|↑c-↑a|
⇔|↑a-t↑c|^2≧|↑c-↑a|^2
⇔|↑a|^2-2t↑a・↑c+t^2|↑c|^2≧|↑c|^2-2↑a・↑c+|↑a|^2
⇔-2t|↑a||↑c|cosθ+t^2|↑c|^2≧|↑c|^2-2|↑a||↑c|cosθ
⇔-2t|↑a|cosθ+t^2|↑c|≧|↑c|-2|↑a|cosθ
⇔|↑c|t^2-2|↑a|cosθt+2|↑a|cosθ-|↑c|≧0
これが任意の実数tに対して成り立つから、左辺=0の判別式D≦0が必要で、
D/4=(-|↑a|cosθ)^2-|↑c|(2|↑a|cosθ-|↑c|)≦0
∴(|↑c|-|↑a|cosθ)^2≦0
∴|↑c|-|↑a|cosθ=0
∴|↑c|=|↑a|cosθ
よって、∠BCAが直角なので、△ABCは直角三角形です。
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