 | 2014/07/04(Fri) 18:44:03 編集(投稿者)
■No46126に返信(yahooで勉強中さんの記事)
> 正しい証明方法を教えていただけないでしょうか
f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+3(abc)^(2/3)-2(ab+bc+ca)≧0 ・・・A
a=0のときは、f(0,b,c)=b^2+c^2-2bc=(b-c)^2≧0
以下、a＞0とします。
Aの両辺をa^2(＞0)で割り、b/a=s,c/a=tとおくと
A⇔1+s^2+t^2+3(st)^(2/3)-2(s+st+t)≧0
（さらにs+t=p,st=qとおくと)
⇔1+(p^2-2q)+3q^(2/3)-2p-2q≧0
⇔f(p,q)=p^2-2p+3q^(2/3)-4q+1≧0
以下では、これを示します。
ところで、s,tはX^2-pX+q=0の2つの実数解だから、
p^2-4q≧0⇔p≧2√q (∵p,q≧0)
を満たしています。
ここで、f(p,q)においてqを定数、pを変数とみて、f(p,q)をpで微分すると、
f'(p,q)=2p-2=2(p-1)
なので、f'(p,q)=0となるのは、p=1のときのみ、と分かります。
(Ⅰ)1≧2√q⇔√q≦1/2⇔q≦1/4=0.25のとき。
増減表により、
f(p,q)≧f(1,q)=3q^(2/3)-4q=q^(2/3)(3-4q^(1/3))≧0
（∵3-4q^(1/3)≧0⇔q≦27/64=0.421875）
(Ⅱ)1＜2√q⇔√q＞1/2⇔q＞1/4のとき。
増減表により、
f(p,q)
≧f(2√q,q)
=3q^(4/6)-4q^(3/6)+1
=(q^(1/6)-1)^2{3(q^(1/6)+1/3)^2+2/3}≧0
(Ⅰ)(Ⅱ)により、a＞0のときAが示されました。
以上により、Aが示されました。
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